中国矿业大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第十章 重积分

Vyy/1(dyedx+f'dyfy例5 计算I=exdx解：「edx无法用初等函数表示，积分时必须考虑次序，先对>积分3画出D的图形，交换积分次序：1.2I=f'darf"edyy=x0.80.6('x(e-e")dxy=x?0.40.23le018x20.20.20.40.60.8A20.2-11-

1 2 1 ( )x   x e e dx  . 2 1 8 3  e  e 2 y  x    y  x xx xy I dx e dy 2 211 1 2 11 1 42 2 1 5 . y y y y x x y I d   y e dx dy e dx 例 计算   . y x e dx  y 解： 无法用初等函数表示，  积分时必须考虑次序，先对 积分 -11- 画出 的图形，交换积分次序： D

二、利用极坐标计算二重积分★ 对[[f(x,y)do，讨论其极坐标下的形式.D令x=rcos, y=rsino, 则f(x,y)=f(rcoso,rsin)直角坐标系下：面积元素do=dxdy，极坐标系下do=？=0+40r=r+ArA0, =(r+,)A0-rA0r=rAa=r.Nr 0 +(W,)A0.0(Nr :40)0=0Ao=do=rdrdeA[[ f(x, y)dxdy = [[ f(r cos0, r sin 0)rdrde.DD-12-

(, ) D f x yd ★ 对 讨论其极坐标下的形式  ， . 直角坐标系下 面积元素 ： ， d dxd   y    d rdrd   二、利用极坐标计算二重积分 (, ) D f x y dxdy  -12-  i  ( cos , sin ) . D  f r r rdrd     令 xr yr  cos sin ， ，   则 f xy f r r ( , ) ( cos , sin ).    极坐标系下 d  ? 1 1 2 2 ( ) 2 2 ii i rr r      1 2 ( ) 2 i i i i   r r   r  ( ) i i o r  

(1)平面区域如图:α≤≤β,(の)≤r≤()r=9(0)=0(0)D或r=g(0)r=(0)A[[ f(r cosg,r sin)rdrd =def(rcose,rsin)rdr06D累次积分，从右向左积-13-

A D o ( cos , sin ) D f r r rdrd      (1)平面区域如图: o A D -13-      ，   2 r  ( )  1 r  ( )  1 2  ( ) ( ).    r  d    21 ( ) ( ) f ( cos , sin ) . r r rdr        2 r  ( )  1 r  ( )    或 累次积分，从右向左积

(2)平面区域如图:α≤≤β,0≤r≤(の)r =p(0)[[ f(r cos 0, r sin 0)rdrd0Dde (()f(rcos,rsinの)rdr.a累次积分，从右向左积A(3)平面区域如图：0≤≤2元，0≤r≤(0)[[ f(r cos,r sin)rdrder=@(0)Dfa"do fof(rcoso,rsino)rdr.01累次积分，从右向左积注：极坐标系下区域D的面积α={「rdrdoD-14-

A o D ( ) 0 f ( cos , sin ) . r r rdr      D o A 2 0 d          ， (3)平面 区域如图： -14- (2)平面区域如图:   r ( )  0 ( ).  r    d     0 2    ，0 ( ).   r   r ( )  ( ) 0 f ( cos , sin ) . r r rdr      . D D rdrd    注：极坐标系下区域 的面积  ( cos , sin ) D f r r rdrd     累次积分，从右向左积 ( cos , sin ) D f r r rdrd     累次积分，从右向左积

例6写出积分「f(x,y)dxdy的极坐标下的二次积分形式，Dy其中,D=(x,y)|1-x≤y≤/1-x2, 0≤x≤1)0.8解：由极坐标系与直角坐标系的对应关系知：0.60.4圆方程x2+y2=1 >r=10.210.20.40.60.81直线方程x+y=1←r=sin0+cos01元区域D:0≤≤≤r≤1.2sin+cos0[J f(x, ) dxdy = f" dof"f(rcoso, rsin 0)rdr.sin+coseD-15-

解：由极坐标系与直角坐标系的对应关系知： ( , ) ( cos , sin ) . 2 0 1 sin cos    1      f x y dxdy d f r  r  rdr D 2 6 (, ) {( , ) 1 1 0 1}. D f x y dxdy D xy x y x x      例 写出积分 的极坐标下的二次积分形式，  其中， ， 1 1 sin cos xy r     直线方程 2 2 圆方程 x    y r 1 1 1 0 1. 2 sin cos D r         区域 ： ， -15 -