复旦大学：《数学分析》精品课程授课教案（讲义）7 条件极值问题与Lagrange乘数法

教案条件极值问题与Lagrange乘数法1.教学内容讲解Lagrange乘数法的原理，并介绍如何应用Lagrange乘数法求解条件极值问题。2.指导思想条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题，Lagrange乘数法是解决条件极值问题的一个有效的工具，也是数学分析课程教学上的一个难点，讲好这一节课程对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。3.教学安排1.在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条件。例如，求原点到直线[x+y+z=l,[x+2y+3z=6的距离，就是在限制条件x+y+z=1和x+2y+3z=6的情况下，计算函数f(x,y,2)=x2+y2+22的最小值。这就是所谓的条件极值问题。以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数f(x,y,z)在约束条件[G(x, y,2) = 0,H(x, y,z) = 0下的极值。假定f，FG具有连续偏导数，且Jacobi矩阵(GG,G.J=(HH,H.)在满足约束条件的点处是满秩的，即rankJ=2。先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。设曲线上一点（xo,yo,z）为条件极值点，由于在该点rankJ=2，不妨假设在(0,0=）点(G0，则由隐函数存在定理，在(30.J0=。）附近由该方程可o(y,z)以唯一确定y=y(x), z= z(x), xeO(xo,p) (yo =y(xo),=。 = z(xo))。它是这个曲线方程的参数形式。将它们代入目标函数，原问题就转化为函数Φ(x)= f(x,y(x),z(x), xEO(xo,p)的无条件极值问题，x。是函数Φ(x)的极值点，因此x)=0，即(0, 00)+J,(0 0,0)+ (0 00)=0。dxdx这说明向量1

教案 条件极值问题与 Lagrange 乘数法 1. 教学内容 讲解 Lagrange 乘数法的原理，并介绍如何应用 Lagrange 乘数法求解条件极值问 题。 2. 指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题， Lagrange 乘数法是解决条件极值 问题的一个有效的工具，也是数学分析课程教学上的一个难点，讲好这一节课程， 对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。 3. 教学安排 1．在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条 件。例如，求原点到直线 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 的距离，就是在限制条件 + + zyx = 1 和 + + zyx = 632 的情况下，计算函数 222 ),( ++= zyxzyxf 的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 zyxf ),( 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0),( ,0),( zyxH zyxG 下的极值。 假定 具有连续偏导数，且 , GFf Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zyx zyx HHH GGG J 在满足约束条件的点处是满秩的，即 J = 2rank 。 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。 设曲线上一点 为条件极值点，由于在该点 ),( 000 zyx J = 2rank ，不妨假设在 zyx 000 ),( 点 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ zy HG ，则由隐函数存在定理，在 附近由该方程可 以唯一确定 ),( 000 zyx ,(),(),( ) = = ∈ xOxxzzxyy 0 ρ （ )(),( 0 00 0 = = xzzxyy ）。 它是这个曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数，原问题就转化为函数 ),()),(),(,()( =Φ ∈ xOxxzxyxfx 0 ρ 的无条件极值问题， 是函数 0 x Φ x)( 的极值点，因此 0)( Φ′ x0 = ，即 0),(),(),( 000 + 000 + 000 = dx dz zyxf dx dy zyxfzyxf x y z 。 这说明向量 1

gradf(xoYo,-o)=f.(xo,yo,-o)i+f.(xoyo,zo)j+f.(xo,Yo,z)k(1崇崇）正交，即与曲线在(xo,o,=)点的切向量正交，因此与向量=[1"dx"dxgradf(xo,yo,=）可看作是曲线在（xo,yo,=。）点处的法平面上的向量。由定理12.5.1，这个法平面是由gradG(xo,yo,z）与gradH(xo,Jo,z）张成的，因此gradf(xo,yo,o)可以由gradG(xo,yo,zo）和gradH(xo,o,z)线性表出，或者说，存在常数,，使得grad f(xo,yo,zo)=MgradG(xo,yo,zo)+μogradH(xo,yo,zo),这就是点（xoJo，z。）为条件极值点的必要条件。将这个方程按分量写开就是f.(Xo,yo,20)-2G.(xo,o,z0)-μoH(Xo, yo,zo)= 0f,(xo,yo,zo)-G,(xo,yo,zo)-μoH,(xo,yo,zo)=0f.(xo.yo,20)-2G(Xo,yo,z0)-μoH.(xo,o,2)=0于是，如果我们构造Lagrange函数L(x,y,z2) = f(x,y,z) - AG(x,y,z)-μH(x, y,z)（入，u称为Lagrange乘数），则条件极值点就在方程组L=f-G,-μH,=0,L,=f,-aG,-μH,=0L.=f.-G.-μH=OG=0,H=0的所有解(xo,yo,=o,,)所对应的点(xo,Jo,z)中。用这种方法来求可能的条件极值点的方法，称为Lagrange乘数法。2．作为一个例子，现在用Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题，即求函数F(x,y,2)= x? +y? +2?在约束条件[x+y+z=1,x+2y+3z=6下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作Lagrange函数L(x,y,z,,μ)=x2 + y2 +22 - (x+ y+z -1)- μ(x+2y+3z -6),在方程组(,=2x--μ=0,L,=2y-元-2μ=0,,=2z--3μ=0,x+y+z-1=0,x+2y+3z-6=0.把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以x、y、z后相加，再利用第四、第五式得到2

000 = x 000 i + y 000 j + z zyxfzyxfzyxfzyxf 000 ),(),(),(),(grad k 与向量 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx dz dx dy τ ,1 正交，即与曲线在 点的切向量正交，因此 可看作是曲线在 点处的法平面上的向量。由定理 12.5.1，这个法平面是由 与 张成的，因此 可以由 和 线性表出，或者说， 存在常数 ),( 000 zyx zyxf 000 ),(grad ),( 000 zyx zyxG 000 ),(grad zyxH 000 ),(grad zyxf 000 ),(grad zyxG 000 ),(grad zyxH 000 ),(grad 00 λ ,μ ，使得 zyxf 000 ),(grad =λ0 zyxG 000 ),(grad + μ 0 zyxH 000 ),(grad ， 这就是点 为条件极值点的必要条件。 ),( 000 zyx 将这个方程按分量写开就是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − = .0),(),(),( ,0),(),(),( ,0),(),(),( 00000000000 00000000000 00000000000 zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf z z z y y y x x x λ μ λ μ λ μ 于是，如果我们构造 Lagrange 函数 = − λ − μ zyxHzyxGzyxfzyxL ),(),(),(),( （λ, μ 称为 Lagrange 乘数），则条件极值点就在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = =−−= =−−= =−−= 0 ,0 ,0 ,0 ,0 H G HGfL HGfL HGfL zzz z yy y y xxx x μλ μλ μλ 的所有解 ),( λ μ 00000 zyx 所对应的点 中。用这种方法来求可能的条件 极值点的方法，称为 Lagrange 乘数法。 ),( 000 zyx 2．作为一个例子，现在用 Lagrange 乘数法来解决本节开始提出的问题，即 求函数 222 ),( ++= zyxzyxF 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作 Lagrange 函数 ),( ( )632()1 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−−++−++= ， 在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =−++ =−−= =−−= =−−= .0632 ,01 ,032 ,022 2 ,0 zyx zyx zL yL xL z y x μλ μλ μλ 把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以 x 、 zy 后相加，再利用第四、第五 式得到 2

2(x2 + y2 +22)= 1+6μ。请同学思考，从上式我们能得出什么结论？答案：从方程组解出入和U，如果只有一组解，则+6就是原点到直线距2离的平方！为此我们只要从方程组解出入和μ即可。把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得3元+6μ=2;把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得6元+14μ=12。从以上两个方程解得1=_223=4。[x+y+z=l,[(-22 + 24) = 5的距离为于是原点到直线(3V3[x+2y+3z=6V2517注解出和μ后，容易得到本题的唯一可能条件极值点为x=V33”23x+y+z=l,的距离为5！2)=座_5因此原点到直线V（333)-V33x+2y+3z=63.一般地，考虑目标函数f(x,x2,,x)在m个约束条件g,(xj,X2,*,x,)=0 (i=1,2,..,m, m<n)下的极值，这里f,g,(i=1,2,,m)具有连续偏导数，且Jacobi矩阵(agigdg1ax,ax2ax,g2ag2og2J=ax.ax,Ox2::：og mogmogm(ax,axnax2在满足约束条件的点处是满秩的，即rankJ=m。那么我们有下述类似的结论：定理1（条件极值的必要条件）若点x。=（x°,x,.,xo）为函数f(x)满足约束条件的条件极值点，则必存在m个常数2，2,，,元m，使得在x。点成立gradf=^gradg,+22gradg2+...+amgradgm于是可以将Lagrange乘数法推广到一般情形。同样地构造Lagrange函数L(x,x2,""xn,,2,"",am)=f(x,x2,",x,)-Eng,(x,x2,*,x.),i=l那么条件极值点就在方程组[0,(*)(k =1,2,...,n,1=1,2,..,m)axkax台axkg/=0,的所有解(x,x2,,x,,,…,)所对应的点(x,x,,x)中。3

(2 6) μλ 222 zyx +=++ 。 请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出λ 和 μ ，如果只有一组解，则 2 λ + 6μ 就是原点到直线距 离的平方！ 为此我们只要从方程组解出λ 和μ 即可。 把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得 λ + μ = 263 ； 把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得 λ + μ = 12146 。 从以上两个方程解得 4, 3 22 μλ =−= 。 于是原点到直线 的距离为 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 3 5 )24 3 22 ( 2 1 =+− 。 注 解出λ 和μ 后，容易得到本题的唯一可能条件极值点为 3 7 , 3 1 , 3 5 zyx ==−= ， 因此原点到直线 的距离为 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 3 25 3 7 , 3 1 , 3 5 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ F − = 3 5 。 3．一般地，考虑目标函数 21 L xxxf n ),( 在 m 个约束条件 );,2,1(0),(i 21 L n = = L < nmmixxxg 下的极值，这里 i = L migf ),2,1(, 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n m m m n n x g x g x g x g x g x g x g x g x g J L MMM L L 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 在满足约束条件的点处是满秩的，即rank = mJ 。那么我们有下述类似的结论： 定理 1（条件极值的必要条件）若点 为函数 满足约束 条件的条件极值点，则必存在 个常数 x0 ),( 00 2 0 1 n = L xxx f x)( m λ λ λ m , 21 L ，使得在 点成立 x0 g g m g m grad f = λ1 grad + λ21 grad 2 +L+ λ grad 。 于是可以将 Lagrange 乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange 函数 ∑= = − m i n m n ii n xxxL xxxgxxxf 1 21 21 21 21 L L λλλ L λ L ),(),(),( ， 那么条件极值点就在方程组 （*） ),2,1;,2,1( ,0 ,0 1 mlnk g x g x f x L l m i k i i kk = L = L ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑= λ 的所有解 ),( 21 n 21 m L xxx λ λ L λ 所对应的点 21 L xxx n ),( 中。 3

判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给出，请有兴趣的读者将证明补上。定理2设点x=(x,x2x)及m个常数,，,满足方程组（*)，则当方阵((,,)ax,ax,为正定（负定）矩阵时，x。为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此f(x）为满足约束条件的条件极小（大）值。注意，当这个定理中的方阵为不定时，并不能说明f(x。）不是极值。例如，在求函数f(x,y,z)=x+y?-2?在约束条件z=0下的极值时，构造Lagrange函数L(x,y,2)=x2+y2-2?-z，并解方程组L,=2x=0,L, =2y=0,L, =-22-= 0,2=0得x=y=z=入=0。而在(0,0,0,0)点，方阵LLL）(200020LxLyLy-(00-2LxLyL)是不定的。但在约束条件z=0下，f(x,y,=)=x2+y2≥f(0,0,0)=0，即f(0,0,0)是条件极小值。4.例题在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定最值的存在性（如前面的例子）。这样的话，只要把用Lagrange乘数法所解得的点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。例1要制造一个容积为α立方米的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、高为多少米时，用料最省？解设水箱的长为x、宽为y、高为（单位：米），那么问题就变成在水箱容积xyz = a的约束条件下，求水箱的表面积S(x, y,2) = xy + 2xz +2yz的最小值。作Lagrange函数L(x,y,z,a) = xy +2xz +2yz-a(xyz-a),从方程组[L = y+2z - yz = 0,L,=x+2z-xz=0,L,=2x+2y-Axy=0,xyz-a=04

判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给 出，请有兴趣的读者将证明补上。 定理 2 设点 x0 = 1 0 2 0 L xxx n 0 ),( 及m 个常数λ λ λ m , 21 L 满足方程组（*），则 当方阵 nn m lk xx L × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ ),( 210 2 x L λλλ 为正定（负定）矩阵时， 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此 为满足约束条件的条件极小（大）值。 x0 )(x0 f 注意，当这个定理中的方阵为不定时，并不能说明 不是极值。例如， 在求函数 在约束条件 )(x0 f 222 ),( −+= zyxzyxf z = 0下的极值时，构造 Lagrange 函 数 −−+= λzzyxzyxL ，并解方程组 222 ),( ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = =−−= == == 0 ,02 ,02 ,02 z zL yL xL z y x λ 得 zyx λ ==== 0 。而在 点，方阵 )0,0,0,0( ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 002 zzzyzx yzyyyx xzxyxx LLL LLL LLL 是不定的。但在约束条件 下， ，即 是条件极小值。 z = 0 ),( 0)0,0,0( 22 fyxzyxf =≥+= f )0,0,0( 4．例题 在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定 最值的存在性（如前面的例子）。这样的话，只要把用 Lagrange 乘数法所解得的 点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。 例 1 要制造一个容积为 立方米的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、 高为多少米时，用料最省？ a 解 设水箱的长为 x、宽为 、高为 （单位：米），那么问题就变成在水箱 容积 y z xyz = a 的约束条件下，求水箱的表面积 = + + 22),( yzxzxyzyxS 的最小值。 作 Lagrange 函数 λ = + + − λ − axyzyzxzxyzyxL )(22),( ， 从方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− =−+= =−+= =−+= 0 22 ,0 ,02 ,02 axyz xyyxL xzzxL yzzyL z y x λ λ λ 4

得到唯一解×=/2a, y= /2a, =- 2a2由于问题的最小值必定存在，因此它就是最小值点。也就是说，当水箱的底为边长是/2a米的正方形，高为/2a/2米时，用料最省。例2求平面x+y+z=0与椭球面x2+y+4z2=1相交而成的椭圆的面积。图12.7.1解椭圆的面积为πab，其中a,b分别为椭圆的两个半轴，因为椭圆的中心在原点，所以a,b分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。于是，可以将问题表述为，求f(x,y,2)= x? +y2 + 2?在约束条件[x+y+z=0,[x2+y2+422=1下的最大值与最小值。作Lagrange函数L(x, y,z, a, μ) = x2 + y? + 2? - a(x+ y+ 2)- μ(x2 + y + 422 -1) ,得到相应的方程组[L, = 2(1- μ)x - = 0,L,=2(1-μ)y-= 0,L, = 2(1- 4μ)z - = 0x+y+z=0,x2+y?+422-1=0将方程组中的第一式乘以x，第二式乘以y，第三式乘以z后相加，再利用x+y+z=0和x?+y?+4z?=1得到f(x,y,z)=x? +y? +z? = μ。请同学思考，从上式我们能得出什么结论？答案：从方程组解出μ，如果只有二个解叫和山，则它们就是该椭圆的半长轴与半短轴的平方！所以问题转化为求u的值。将以上方程组中的第一式乘以1-4u，第二式乘以1-4μ，第三式乘以1-μ后相加，得到5

得到唯一解 2 2 ,2,2 3 3 3 a = = zayax = 。 由于问题的最小值必定存在，因此它就是最小值点。也就是说，当水箱的底为边 长是3 2a 米的正方形，高为 22 3 a 米时，用料最省。 例 2 求平面 zyx =++ 0与椭球面 zyx 222 =++ 14 相交而成的椭圆的面积。 解 椭圆的面积为πab ，其中 分别为椭圆的两个半轴，因为椭圆的中心在 原点，所以 分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。 ,ba ,ba z O y x 图 12.7.1 于是，可以将问题表述为，求 222 ),( ++= zyxzyxf 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 14 ,0 222 zyx zyx 下的最大值与最小值。 作 Lagrange 函数 ),( )14()( 222 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−++−++= ， 得到相应的方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =++ =−−= =−−= =−−= .014 ,0 ,0)41(2 ,0)1(2 ,0)1(2 222 zyx zyx L z L y L x z y x λμ λμ λμ 将方程组中的第一式乘以 x ，第二式乘以 ，第三式乘以 后相加，再利用 和 得到 y z zyx =++ 0 14 222 zyx =++ =++= μ 222 ),( zyxzyxf 。 请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出μ ，如果只有二个解 μ1和μ 2，则它们就是该椭圆的半长 轴与半短轴的平方！ 所以问题转化为求μ 的值。 将以上方程组中的第一式乘以 − 41 μ ，第二式乘以 − 41 μ ，第三式乘以1− μ 后 相加，得到 5