例1不作计算，估计I={[e(+)do的值，其中，D是D2椭圆闭区域：:1 (0<b<a).62解：D的面积α=元ab在D上，由于0x2+α2，故，1=e°≤e+e由性质5可知：≤[[e(+)dg≤.e°,D即, ab≤[Je(r+y)do≤abeD-11-
22 2 222 0 0 1. x y a D xya ee e 在 上，由于 ，故， 22 2 ( ) 5 x y a D ed e 由性质 可知： ， 解： 的面积 D ab 22 2 ( ) . x y a D ab e d ab e 即， 2 2 ( ) 2 2 2 2 10 ) ( 1 . x y D I ed D x y b a a b 例 不作计算，估计 的值，其中， 是 椭圆闭区域： -11-
da练习估计[=的值，其中，Vx2+y2+2xy+16DD: 0≤x≤1, 0≤y≤21区域D的面积=2，解:： f(x,y)=V(x+y)? +16在D上f(x,y)的最大值为 M==(x=y=0),1最小值为m=(x=1, y=2)V32+165故，mg≤I≤M.，即，0.4≤I≤0.5-12-
2 1 (, ) 2 ( ) 16 f xy D x y 解： ，区域 的面积 ， 1 D ( , ) ( 0) 4 在 上 的最大值为 ， f xy M x y ( 1, 2) 51 3 16 12 最小值为 m ， x y 故， ，即， m IM I 0.4 0.5. 2 2 2 16 0 1 0 2. D d I x y xy D x y ， 练习 估计 的值，其中， ： -12-
(In(x2 +y2)dxdy的符号例2 判断rs解：当r≤+≤1时，则0+≤(+1故，In(x2 +y)≤0.于是，(「 ln(x +y)dxdy<0.rsx+/≤1-13-
22 2 解：当 时，则 ， rxy x y xy 1 0 ( )1 2 2 故，ln( ) 0. x y 2 2 1 ln( ) 0. rx y x y dxdy 于是， 2 2 1 2 ln( ) rx y x y dxdy 例 判断 的符号. -13-
例3 比较[[ in(x+y)d与[[ln(x+y)do的大小，其中,DDD是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0)解：三角形斜边方程x+y=2在D内,1≤x+y≤2<e,1故，0<ln(x+y)<1.R02x1于是, ln(x+y)>[in(x+y)]因此, [[ In(x+ y)do > [[In(x+ y)] dgDD-14
解：三角形斜边方程 x y 2 o x y 1 1 2 D 在 内， ， D 1 2 x y e 故，0 ln( ) 1. x y 2 于是，ln(x y) ln(x y) 2 ln( ) [ln( )] . D D x yd x y d 因此， 2 3 10 , 11 , ln( ) [ln( )] 20. D D x D yd x y d 例 比较 与 的大小，其中， 是三角形闭区域，三顶点各为( , )( ,)( , ) -14-
练习比较[[(x+y)do和[[(x+y)’do的大小，其中,0DyD: (x-2) +(y-1)2≤2D解：积分域D的边界为圆周：+x(x-2) +(y-1) =20213它与x轴交于点(1,0)，且与直线x+y=1相切：而闭区域D位于直线的上方，故，x+y≥l，V（x,y)ED从而,(x+y)?≤(x+y),V(x,y)eD因此，[ (x+y)'do< (x+ y)'do.DD-15
2 3 从而， ， ( ) ( ) (, ) . x y x y xy D 2 2 ( 2) ( 1) : x y 2 D 解 积分域 的边界为圆周： 它与 轴交于点 ，且与直线 相切； x y (1,0 1 ) x 而闭区域 位于直线的上 故， ， D 方， x y xy D 1 (, ) . 2 3 ( ) ( ). D D x y d x y d 因此， 2 3 2 2 () () ( 2) ( 1) 2. D D x yd x yd Dx y 练习 比较 和 的大小，其中， ： 1 0 1 2 3 D x y -15-