均值，方差与时间无关 相关函数只与时间间隔有关 满足(2)， (3),(4)广义平稳（宽平稳） 满足(1)狭义平稳（严平稳） 时间平均：取一固定的样本函数（实现）对 时间取平均 x()为任意实现 n7x()d=a m7原x()xt+x)dM=R(
11 均值，方差与时间无关 相关函数只与时间间隔有关 满足（2），（3），（4）广义平稳（宽平稳） 满足（1） 狭义平稳 （严平稳） 时间平均：取一固定的样本函数（实现）对 时间取平均 x(t)为任意实现 = → − 2 2 ( ) 1 lim T T T x t dt a T + = → − 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 lim T T T x t x t dt R T
平稳随机过程 5(t) 其实现为x(),X2(①)， .x(),如其时间平均都相等，且等于统计平均 即 a-a R()=R(t) 则称平稳随机过程(t)具有各态历经性。 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反 之不一定成立。，在通信系统中所遇到的随机信号 和噪声，一般均能满足各态历经条件。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均，简 化计算
12 平稳随机过程 ，其实现为x1 (t)，x2 (t)， .xn (t)，如其时间平均都相等，且等于统计平均， 即 a= 则称平稳随机过程 具有各态历经性。 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反 之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号 和噪声，一般均能满足各态历经条件。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均，简 化计算。 (t) a R( ) = R( ) (t)
■例1：设一个随机相位的正弦波为 5(t)=Acos(0.t+0) 其中，A和0均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机 变量。试讨论()是否具有各态历经性。 解()先求)的统计平均值： 数学期望 ()=EE(["Acos()do 2元 25(os01o0-snasn00 2 eo o0-snah出0=0 = 13
13 ◼ 例1: 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随机 变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 解 (1)先求(t)的统计平均值： 数学期望 (t) = Acos( t + ) c = = + 2 0 2 1 a(t) E[ (t)] Acos( c t ) d = − 2 0 (cos cos sin sin ) 2 t t d A c c [cos cos sin sin ] 0 2 2 0 2 0 = − = t d t d A c c
自相关函数 R(t1,t2)=E[(t)(t2】 =E[A cos(@t+0).Acos(@.t2+0)] -AEfcO.(t-t)+cos(+t)+20J 2 sa.:-i+coa+)+20a的 A2 cos@c(t2-t)+0 令2-1=t,得到 R(t1,t2)= A cos@T=R(T) 可见，)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关， 只与时间间隔τ有关，所以()是广义平稳过程
14 自相关函数 令t2 – t1 = ，得到 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关， 只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。 cos (t t ) 0 2 A d 2 1 cos[ (t t ) 2 ] 2 A cos (t t ) 2 A E{cos (t t ) cos[ (t t ) 2 ]} 2 A E[Acos( t ) Acos( t )] R(t , t ) E[ (t ) (t )] c 2 1 2 2 0 c 2 1 2 c 2 1 2 c 2 1 c 2 1 2 c 1 c 2 1 2 1 2 = − + = − + + + = − + + + = + + = cos ( ) 2 ( , ) 2 1 2 R A R t t = c =
(2)求)的时间平均值 Acos(@1+0)dt=0 cot+0)Acos.+)+0 -若原cosa+原a2au+ar+29hy A2 比较统计平均与时间平均，有 a=a,R(t)=R(t) 因此，随机相位余弦波是各态历经的
15 (2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。 → − = + = 2 2 cos( ) 0 1 lim T T c T A t dt T a → − = + + + 2 2 cos( ) cos[ ( ) ] 1 ( ) lim T T c c T A t A t dt T R → − − = + + + 2 2 2 2 2 { cos cos(2 2 ) } 2 lim T T T c T c c T dt t dt T A c A cos 2 2 = a = a,R( ) = R( )