《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第9章 二次型

那么P'AP=Q'E',...E,E'AE,E, ...E,Q01a1a1100Q二Q'AQ1这里 Ci=a11

那么                                                      n s s c c c QAQ a Q A a Q P A P EEEQ A E QEE 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 1 111 1 1 1 1 1 2112        这里 1  ac 11

(b)如果 (a;=0，i=1,2,,n.由于A#O,所以一定有某一个元素a≠0，i≠i.把A的第j列加到第列，再把第j行加到第行，这相当于初等矩阵T,(1)右乘A. 再用 T,(1)=Ti;(1) 左乘A. 而经过这样的变换后所得到的矩阵第行第i列的元素是2ai≠0.于是由情形（b）京(a):就归结到情形注意在定理9.1.2的主对角形矩阵P'AP中，主对角线上的元素，C2，·，C的一部分甚至全部可以是零。显然，不为零的的个数等于A的秩，如果秩A等于r>0，那么由定理的证明过程可以知C1,C2,"",C, +0, 而c= Cr+2 =...= Cn = 0

(b) 如果 . 由于A≠O，所以 一定有某一个元素 . 把A的第 j 列加 到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 右乘A . 再用 左乘A. 而经过这 样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素 是 . 于是由情形（b）就归结到情形（a）. ii   ,2,1,0 nia jiaij  ,0  )1( Tji  )1()1(  ij TT ji aij  02 注意 在定理 9.1.2的主对角形矩阵 中，主 对角线上的元素 的一部分甚至全部可以 是零。显然，不为零的 的个数等于A的秩，如 果秩A等于r > 0，那么由定理的证明过程可以知 PAP n , ccc 21  i c 21  r  ,0, 而  r2  cccccc n  0

给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一个可逆矩阵P，使P'AP有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形式时，/就化为P。例1设M12-62

给了数域 F 上一个n 阶对称矩阵A， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出 一个可逆矩阵P，使 有对角形式，只要在对 A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对 n阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当A 化为对角形式时，I 就化为P。 PAP 例1 设                    0403 60 12 4 0630 3000 A

我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列初等变换，将A变成P'AP，使得P'AP是一个对角形矩阵。同时对单位矩阵I，施行同样的初等变换而得出P。交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同时交换英I的第一列和第二列。这时A和L分别化为：

我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列 初等变换，将A变成 ，使得 是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵 ，施行同样的初等 变换而得出P。 PAP PAP 4 I 交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同 时交换 的第一列和第二列。这时A和 分别化 为： 4 I 4 I                                   1000 0100 0001 0010 , 0430 06 12 4 3000 0603 A1 P1

把A,的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同时把P的第一列乘以2加到第三列。分别得到：把A,的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同时把P,和第四列加到第二列，得

把 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以 2加到第三行，同时把 的第一列乘以2加到第三 列。分别得到： A1 P1                                 1000 0100 0201 0010 , 0430 4000 3000 0003 A2 P2 把 的第四列加到第二列，第四行加到第二 行，同时把 和第四列加到第二列，得 A2 P2