《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第9章 二次型

定理9.1.3数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同，等价的二次型具有相同的秩定理9.1.4令A=（a）是数域F上的一个n阶对称矩阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得P'AP=即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同

定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 是数域F上的一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得 )( ij 令  aA                 n c c c P AP 0 0 2 1  即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 同

证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵Pi,，D,(k)和T(k)容易看出，P, = Pr,; D,(k)= D,(k); T,(k)= T,(k)现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立。设n>1，并且假设对于n-1阶对称矩阵来说，定理成立。设A=（ai）是一个n阶矩阵如果A=O，这时A本身就是对角形式。设A≠O我们分两种情形来考虑

证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 i j i 和 ij kTkDP )()(, 容易看出， ()(; ); kTkTkDkDPP )()( i j i j i i ij  ij      )( ij 设  aA  OA )( 设  aA ij  OA 现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定 理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对称 矩阵来说，定理成立。 是一个n阶矩阵. 如果A = O，这时A本身就是对角形式。设 , 我们分两种情形来考虑

(a）设A的主对角线上元素不全为零，例如，a≠0.如果i±1，那么交换A的第1列与第I列，再交换第1行与第行，就可以把换到左上角。这P;右用样就相当于初等矩阵Pl,=Pi,左乘A.于是 Pl,APi,的左上角的元素aj乘不等于零.因此，我们不妨设11≠0，用1aj乘第1行加到第A的第1列加到第j列，再用alj行，就可以把第一行第j列和第j行第1列位置的元素变成零

(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例 如， .如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列， 再交换第1行与第i行，就可以把 换到左上角。这 样就相当于初等矩阵 , 再用 . 于是 的左上角的元素 aii  0 aii AP1i 右乘 APP  11 ii 左乘 AP ii P 11  a11  0 11 1 a a j 不等于零. 因此，我们不妨设 ，用  乘 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的 元素变成零。 A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第 11 1 a a j 

aij)右乘A，用这相当于用 T;(-一ala1左乘A。这样，总可以选取初等矩阵Ei,E2，,E，，使得ayl0E',...E,E'AE,E,...E,=这里A是一个n-1阶的对称矩阵

这相当于用 )( 右乘A，用 11 1 1 a a T j j  )()( 1 1 1 1 1 1 1 1 a a T a a T j j j j    左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 , 使得 EEE s , 21                    0 0 00 1 1 1 2112 A a s EEE AE EE s     这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵

由归纳法假设，存在n－1阶可逆矩阵9使得C2QAQ, =取?P=-E,E...E,0

由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q1 使得                 n c c c QAQ 0 0 3 2 111                 0 0 001 Q1 Q    21  s QEEEP 取