海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二章 数列极限 2.2 收敛数列的性质

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 §2.2收敛数列的性质 教学内容：第二章数列极限一一§2.2收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质：掌握求数列极限的常用方法 教学要求：(1)使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性： (2)掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些 收敛数列的极限 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算 教学方法：讲练结合。 教学过程： 引言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证ma,=a的方法，这是极限较基本 的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题，还需要对数列的性质作进 步讨论. 一、收敛数列的性质 性质1（极限唯一性）若数列a,收敛，则它的极限唯一. 证法一假设a与b都是数列a,的极限，则由极限定义，对6>0，N.N∈N,当 n>N时，有，-d<E；n>N时，有a,-4<. 取N=maNN,N,),则当n>N时有 la-bH(a-b)-(a,-a)a-al+la,-bK28 由6的任意性，上式仅当a=b时才成立. 正法二（反证）假设a,}极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a,b

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 1 §2.2 收敛数列的性质 教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性； （2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些 收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证 lim n n a a → = 的方法，这是极限较基本 的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一 步讨论. 一、收敛数列的性质 性质 1（极限唯一性） 若数列 { }n a 收敛，则它的极限唯一. 证法一 假设 a与b 都是数列 { }n a 的极限，则由极限定义，对   0， 1 2   N N, ，当 n  N1 时，有 a − a   n ； n  N2 时，有 a −b   n . 取 max( , ) N = N1 N2 ，则当 n  N 时有 | a − b |=| (a − b) − (a − a) || a − a | + | a − b | 2 n n n n ， 由  的任意性，上式仅当 a = b 时才成立. 证法二 （反证）假设 { }n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为 a,b

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 阳，0。血a=办且0≠6故不纺设0<6，取二2>0 2 由定义，3V∈N,当n>N时有以，-d<6→0，<a+8=a时白 又我e,当时有收-4-e告 七，当n≥mN,时有a<2之a矛盾，因此极限值必唯 性质2（有界性）如果数列a,收敛，则a,必为有界数列.即3M>0,使对n有la,上M 证明设血a.=Q取E=l,3N>0使得当>N时有b,-d<1 即|anl-laan-ak1 la,Kal+l 令 M=max(1+lall a bl az L.ay 1) 则有对nIa,长M即数列a,}有界 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如《-)” ②在证明时必须分清何时用取定6，何时用任给6.上面定理3.2证明中必须用取定6 不能用任给s,否则N随s在变，找到的M也随s在变，界M的意义就不明确了， 性质3（保序性）设ma.=a,m4.=b ()若a>b,则存在N使得当n>N时有a.>b. (②)若存在N,当n>N时有0，≥b,则a2b(不等式性质)

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 2 an a n = → lim ， an b n = → lim 且 a  b 故不妨设 a  b ，取 0 2  − = b a  ， 由定义，   N1 ，当 n  N1 时有 a − a   n  2 a b an a +  +  = . 又   N2 ，当 n  N2 时有 a −b   n  2 a b an b +  −  = ， 因此，当 max( , ) n  N1 N2 时有 n an a b a  +  2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质 2（有界性）如果数列 { }n a 收敛，则 { }n a 必为有界数列.即 M  0 ，使对 n 有 | an | M 证明 设 an a n = → lim 取  =1，N  0 使得当 n  N 时有 an − a 1 即 | an | − | a || an − a |1  | an || a | +1 . 令 max(1 | |,| |,| |, ,| |) M = + a a1 a2  aN 则有对 n | an | M 即数列 { }n a 有界. 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如 {( 1) } n − . ②在证明时必须分清何时用取定  ，何时用任给  .上面定理 3.2 证明中必须用取定  ， 不能用任给  ，否则 N 随  在变，找到的 M 也随  在变，界 M 的意义就不明确了. 性质 3（保序性） 设 an a n = → lim ， an b n = → lim ， (1) 若 a  b ，则存在 N 使得当 n  N 时有 an  bn ; (2) 若存在 N ，当 n  N 时有 an  bn ，则 a  b （不等式性质）. 证明 （1）取 0 2  − = a b  ，则存在 N1 ，当 n  N1 时 2 | | a b an a − − 

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 从而0，>0-060+6 2 2 又布在，当>水时16-水宁与6<6+-生9 2 (2)(反证)如a<b,则由①知必3N当n>N时a,>6,这与已知矛盾. 推论（保号性）若▣a,0>6则3V,当>N时8，>6，特别地，若aa0,则 3V,当n>N时a,与a同号. 思考如把上述定理中的0，≥b换成0，>6，能否把结论改成a>6,? 例设，20(n=l2.若a,=a,则m瓦.=后 证明由保序性定理可得a20.若a=0,则g>0,3V,当n>N,时有0，<82一a,<s 即m瓦，=0=6 若a>0,则6>0，V,当m>N时有la,-akac la.-va la.-alsla,alse +va a 数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则）若a,、6,都收敛，则a,+6,、a,-6,、a.b,}也都收敛。 m(a,±b)=ma,±mb。，ma.b。=lma,mb. ma。 特别地，ma=c血，c为常数如再有血，≠0则也收敛，且

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 3 从而 2 2 a b a b an a + = −  − . 又存在 N2 ，当 n  N2 时 2 | | a b bn b − −   2 2 a b a b bn b + = −  +  当 max( , ) n  N1 N2 时 n an a b b  +  2 . （2）（反证）如 a  b ，则由⑴知必 N 当 n  N 时 an  bn 这与已知矛盾. 推论（保号性） 若 an a b n =  → lim 则 N ，当 n  N 时 an  b .特别地，若 lim =  0 → an a n ，则 N ，当 n  N 时 n a 与 a 同号. 思考 如把上述定理中的 an  bn 换成 an  bn ，能否把结论改成 n n n n a b → → lim  lim ？ 例 设 an  0 （ n = 1,2,  ），若 an a n = → lim ，则 an a n = → lim 证明 由保序性定理可得 a  0.若 a = 0 ，则   0，N1 ，当 n  N1 时有 2   an    an 即 an a n = = → lim 0 . 若 a  0 ，则   0，N2 ，当 n  N2 时有 a a a | n − |    −  + − − = a a a a a a a a a n n n n | | | | | | . 数列较为复杂，如何求极限？ 性质 4（四则运算法则） 若 { }n a 、 { }n b 都收敛，则 { } an + bn 、 { } an − bn 、 { } anbn 也都收敛， 且 n n n n n n n a b a b → → → lim (  ) = lim  lim ， n n n n n n n a b a b → → → lim = lim lim . 特别地， n n n n ca c a → → lim = lim ，c 为常数如再有 lim  0 → n n b 则 { } n n b a 也收敛，且 n n n n n n n b a b a → → → = lim lim lim

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 证明由于4-2，三0，+6)a×。,故只须证关于和积与倒数运算的结论即可 设ma.=a,血6。=6，e>0,V,当n>N时a,-d<6:3N,当n>N时 b。-l<e 取N=mWN,N,),则当n>N时上两式同时成立. (1)la,b.-abH(a,-a)b,+a(b.-b)Ka.-allb.I+lallb.-bl 由收敛数列的有界性，3M>0,对Vm有b,上M故当n>N时，有 la.b-abk(M+laDs 由的任意性知血a,6.=ab C2》6,=b0,由保号性，N。≥0及k之0，对Vm>N有6.Pk(如可令=号. 1L-1上Ib.-b1b,-b1s 取N=mWNN),则当n>N时有。，6Fb,b<k1bk61,由E的任意性得 11 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算： mx-立m m”=m 但将上迷N换成0，一般不成立。事实上名或本身也是一种极限，两种极限交换次序 是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体 什么条件，到后面我们会系统研究这个问题. 性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列a,、仙，、亿，如V,当n>N时有 4

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 4 证明 由于 an bn an bn − = + (−1) ， n n n n b a b a 1 =  ，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可. 设 an a n = → lim ， bn b n = → lim ，   0， N1 ，当 n  N1 时 a − a   n ； N2 ，当 n  N2 时 b − b   n , 取 max( , ) N = N1 N2 ，则当 n  N 时上两式同时成立. （1） | a b ab | | (a a)b a(b b) | | a a || b | | a || b b | n n − = n − n + n −  n − n + n − , 由收敛数列的有界性， M  0 ，对 n 有 | bn | M 故当 n  N 时，有 | a b ab | (M | a |) n n −  + , 由  的任意性知 anbn ab n = → lim . （2） lim =  0 → bn b n .由保号性， N0  0 及 k  0 ，对 n  N0 有 b k | n | （如可令 2 | b | k = ）. 取 max( , ) N = N0 N2 ，则 当 n  N 时有 | | | | | | | | | | | 1 1 | k b k b b b b b b b b b n n n n   −  − − = ,由  的任 意性得 n bn b 1 1 lim = → . 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算：  = → = → = N k k n n N k k n n x x 1 ( ) 1 ( ) lim lim ，  = → = → = N k k n n N k k n n x x 1 ( ) 1 ( ) lim lim . 但将上述 N 换成  ，一般不成立.事实上   k =1 或   k=1 本身也是一种极限，两种极限交换次序 是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体 什么条件，到后面我们会系统研究这个问题. 性质 5（两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列 { }n a 、 { }n b 、 { }n c ，如 N ，当 n  N 时有

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 a,≤c.≤b,且ma,=m6.=l,则mc=1 证明na,=mb,=l-e>0,3N,N2,当n>N时，1-6<a.<1+5:当n>N, 时，1-6<b.<I+8,取。=mNN,N,M,则当”>N时以上两式与己知条件中的不等式 同时成立，故有n>N时1-E<a≤c,≤6，<1+G一c。-kE即血c,=1 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法。 推论若V,当n>N时有asc,≤b.（或，sc,≤a)且血6，=a,则mC。=a 例求证=石0(a>0. 证明k∈N使得k>a,从而当n>k时有 a'aa 由于册府n=府血=0由推论即可得结论 例设4，a,a是m个正数，证明ma+a+g=ma,a,a). 证明设4=mWa,a,a),则4≤@+a+asmA m>1→血m=1,由迫敛性得结论. 例1m6-1(a>) 在证明中，令么=G-1>0,a=0+点，箱0<么<分，由比推出九→0， 由此例也看出由×<：，<y和血x,=a人，也推出血，=0 例2证明所=1 证明令万-1+

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 5 n n bn a  c  ，且 n→ lim an = n→ lim b l n = ，则 n→ lim c l n = . 证明 n→ lim an = n→ lim b l n =    0， 1 2 N ,N , 当 n  N1 时， l −  a  l +  n ；当 n  N2 时， l −  b  l +  n ,取 max( , , ) N0 = N1 N2 N ，则当 n  N0 时以上两式与已知条件中的不等式 同时成立，故有 n  N0 时 l −  a  c  b  l +  n n n  | c − l |  n 即 n→ lim c l n = . 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法. 推论 若 N ，当 n  N 时有 n bn a  c  （或 bn  cn  a ）且 bn a n = → lim ，则 cn a n = → lim . 例 求证 n→ lim 0 ! = n a n （ a  0 ）. 证明  k 使得 k  a ，从而当 n  k 时有 0  n! a n n a k a n a k a k a a a k     + =     1 2 1 !   , 由于 n→ lim n a k a k  ! = k! a k n→ lim n a = 0 由推论即可得结论. 例 设 1 a ， 2 a ，.， m a 是 m 个正数，证明 n→ lim max( , , , ) 1 2 1 2 m n n m n n a + a +a = a a  a . 证明 设 max( , , ) A = a1 a2 am ，则 A  n n m n n a1 + a2 +a mA n  m 1 n→ lim n m = 1 ，由迫敛性得结论. 例 1 lim =1 ( 1) → a a n n . 在证明中, 令 = −1  0 n hn a ， n a hn = (1+ ) ，得 n a 0  hn  ，由此推出 hn → 0 . 由此例也看出由 n n n x  z  y 和 n n n n x a y → → lim = = lim , 也推出 zn a n = → lim . 例 2 证明 lim =1 → n n n . 证明 令 n n n =1+ h