《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 第四章连续函数习题课 一、基本概念与主要结果 (一)函数连续性定义 函数∫在x0点连续，等价定义有： 1、f=fc) 2、6>0,36>0,x:x-xk6→lfx)-fx)k6, 3、m4y=0 4、倒=黑f)=) 5、s>0,36>0→fUx,cUfx,). 6、对任意数列，→→四，≠，有血f,)=) lim f(x)=f(xo)lim f(x)=f(xo) (仁)左、右连续： (三)间断点类型： [lim f(x)存在-一可去间断点 f(x,人f(x。)归但不等一一第一类间断点 间断点（不连续点） /(6人化，冲至少一个不存在-一第二类间断点 (四)一致连续概念： f(x).xEI e>0,36=e)>0,使得，本∈1,1-xK6=f)-,)k8
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 1 第四章 连续函数习题课 一、基本概念与主要结果 (一) 函数连续性定义 函数 f 在 0 x 点连续,等价定义有： 1、 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ； 2、 0, 0 ,x：| x − x0 | | ( ) − ( ) | 0 f x f x ； 3、 0 lim 0 x y → = ； 4、 = → + lim ( ) 0 f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − ； 5、 0, 0 [ ( , )] ( ( ), ) 0 0 f U x U f x ； 6、对任意数列 { }n x , ( ) xn → x0 n → , 0 x x n ,有 lim ( ) ( ) 0 f x f x n n = → . (二) 左、右连续： lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + 、 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − . (三) 间断点类型： 间断点（不连续点） 0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x f x f x → + − + − 存在-可去间断点 、 但不等-第一类间断点 、 中至少一个不存在-第二类间断点 (四) 一致连续概念： f (x), x I , 0, = ( ) 0 ,使得 x x I 1 2 , , | − | | ( ) − ( )| 1 2 1 2 x x f x f x
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 1、f)在闭区间a,1上一致连续⊙feCa,b1, 2、fx)在开区间(a,b)上一致连续一feC(a,b)且f(a)、f(b)存在： 3、不一致连续口3o>0,δ>0,3，x3∈I,虽x-x,K6但fx)-fx)P60 (伍)初等函数在其定义域上连续 二、连续函数的性质 一)局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性 (二)整体性质： 1、闭区间上连续函数必有界：（有界性） 2、闭区间上连续函数必取到最大值、最小值：（最值性） 3、介值性、零点存在定理： 4、反函数的连续性定理： 5、feCa,口f在a,b1上一致连续 三、例题和讨论 例1若f在点0连续，则f八、也在点0连续，反之如何？ 证明1f八在点连续易证.现证∫在点x0连续， IS(x)-f(xo)Hf(x)+f(xo)I-If(x)-f(xo)I ∫在点o连续=6>0，M>0,当x∈U,d)时lfx)kM: 6>0,36,>0,当x-%k时.1/)-水是
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 2 1、 f (x) 在闭区间 [a,b] 上一致连续 f a b [ , ] ； 2、 f (x) 在开区间 ( , ) a b 上一致连续 f a b ( , ) 且 f a( ) + 、 f b( ) − 存在； 3、不一致连续 0 0 , 0, x x I 1 2 , ,虽 | x1 − x2 | 但 1 2 0 | f (x ) − f (x ) | (五) 初等函数在其定义域上连续 二、连续函数的性质 (一) 局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性. (二) 整体性质： 1、闭区间上连续函数必有界；（有界性） 2、闭区间上连续函数必取到最大值、最小值；（最值性） 3、介值性、零点存在定理； 4、反函数的连续性定理； 5、 f a b [ , ] f 在 [a,b] 上一致连续. 三、例题和讨论 例 1 若 f 在点 0 x 连续,则 | f |、 2 f 也在点 0 x 连续,反之如何？ 证明 | f | 在点 0 x 连续易证.现证 2 f 在点 0 x 连续, | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 2 2 f x − f x = f x + f x f x − f x , f 在点 0 x 连续 1 0 , M 0,当 0 1 x U x ( , ) 时 | f (x) | M ； 0, 2 0 ,当 0 2 | x − x | 时, M f x f x | ( ) − ( 0 ) |
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 取6=m时，d,则当lx-6k6时.广闭-产，水M后=e )=有理数 反之不成立，如 一x,x为无理数 例2若对Vc>0,∫在a+c,b-d上连续，是否能由此推出f在(a,b)内连续？ 解能.x,∈(ab),36,>0使a+,≤，≤b-60即∈[a+6o,b-6lca,1 （知取m06≥当， 2,2 由已知得，()在0连续，再由0的任意性即可得结论. 注意以下不严格的做法： a+8)=amb-8)=bma+&,b-=(a.),故 例3f∈C(R),c>0,证明 「-c,fx)<-c F(x)=f(x).If(x)c c, f(x)>c 在R上连续 证-=l/ce-e 2 证二比eR iD如(xo)<-c,则36>0，当x∈U(x,)时f)<-c →xeU.d时F)=-c,故F)=-c=F)
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 3 取 min{ , } = 1 2 ,则当 | x − x0 | 时, − = M | f (x) f (x0 ) | M 2 2 . 反之不成立,如 , ( ) , x x f x x x = − 为有理数 为无理数 . 例 2 若对 0, f 在 [a + ,b − ] 上连续,是否能由此推出 f 在 (a,b) 内连续？ 解 能. ( , ) x0 a b , 0 0 使 0 0 0 a + x b − 即 [ , ] [ , ] x0 a + 0 b − 0 a b . （如取 } 2 , 2 min{ 0 0 0 x − a b − x = ） 由已知得, f (x) 在 0 x 连续,再由 0 x 的任意性即可得结论. 注意以下不严格的做法： 0 lim( ) a a → + = , 0 lim( ) b b → − = lim[ , ] ( , ) 0 a + b − = a b → ,故. 例 3 f ( ) , c 0 ,证明 , ( ) ( ) ( ), | ( ) | , ( ) c f x c F x f x f x c c f x c − − = 在 R 上连续. 证一 2 | ( ) | | ( ) | ( ) f x c f x c F x + − − = 证二 0 x i）如 f (x ) −c 0 ,则 0 ,当 ( , ) x U x0 时 f (x) −c , ( , ) x U x0 时 F(x) = −c ,故 lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = − = →
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 D如，)>c,同上可证F)=c=F,) 面)如l/kc,同上可证画F()=,)=Fx) m)如o)=C,g>0,36>0当xeU.时l/)-水6且)>号 于是当eU,⊙时f<c+ ,从而F(x)=c或F()=fx),因而 F-F,非{-f水e |c-c=0<6 →F(x)在xo连续 v)若x)=-C,同v)可证 注意典型错误：设/)K-c,则F,)=-c.因此，mF(闭=-C=F,) 例4讨论下列函数的连续性（指出间断点及其类型）》 「x2-1 ()=x401 2-1 fx)=12+1 x≠0 (1) 0. x=0 (2) 1. x=0 )=血为有理数 (0 x为无理数 (④) f-n1x刘 解(1由初等函数连续性知，∫在x≠0,1连续， 因为▣=烟生-2≠0 (无定义)，故x=1为可去间断点： 因包闭华 ,故x=0为第二类间断点
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 4 ii）如 f (x ) c 0 ,同上可证 lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = = → ； iii）如 | f (x ) | c 0 ,同上可证 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 F x f x F x x x = = → . iv）如 f (x ) = c 0 , 0, 0 当 ( , ) x U x0 时 | ( ) − ( ) | 0 f x f x 且 2 ( ) c f x , 于是当 ( , ) x U x0 时 f x c + c ( ) 2 ,从而 F(x) = c 或 F(x) = f (x) ,因而 − − = − = | ( ) ( ) | | | 0 | ( ) ( ) | 0 0 f x f x c c F x F x F(x) 在 0 x 连续 v）若 f (x ) = −c 0 ,同 iv）可证. 注意典型错误：设 f (x ) −c 0 ,则 F(x ) = −c 0 .因此, lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = − = → . 例 4 讨论下列函数的连续性（指出间断点及其类型） ⑴ 2 1 , 0,1 ( ) ( 1) 0, 0 x x f x x x x − = − = ⑵ 1 1 2 1 , 0 ( ) 2 1 1, 0 x x x f x x − = + = ⑶ sin , ( ) 0, x x f x x = 为有理数 为无理数 ⑷ ln | | 1 ( ) x f x = 解 ⑴由初等函数连续性知, f 在 x 0,1 连续, 因为 2 (1) 1 lim ( ) lim 1 1 f x x f x x x = + = → → （无定义）,故 x =1 为可去间断点； 因 = + = → → x x f x x x 1 lim ( ) lim 0 0 ,故 x = 0 为第二类间断点
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 ②)1，f)=-1,了0)=1，故了在x=0右连续非左连续，为第一类间断点。 ③)七≠mm∈时，在的右侧取有理数列{D.}及无理数列g.,使P。=。 -血4.，于是有.)=血p→血，*0而g.)=0→典国不存在，故 x。≠m(m∈Z为∫的第二类间断点： =mmeR)时，|fx)-f(x)Hfx)sin x→时.s如m→smm,=0.故/)-)非0→m)=化，) （15nH5血-s,上21cosx+,)m2x-x-x 此例可看出，它有无数多个孤立的连续点，而在被这些连续点隔开的每个开区间内，函 数是处处不连续的.实际上，f()=sinx·D(x) 推广P:R→R连续，f)=)D()(x∈R),则P的零点是∫的连续点，其余的点 是∫的第二类间断点。 此例也说明：一个函数在一点连续，并不意味着它在x的某个领域内也连续 例5证明：设J为区间上的单调函数，若∈1为厂的间断点，则必是∫的第一类间断 点 证明设)单调递增，则r<,)≤f,）,从而f)在的左领域上单调递增有 上界，因而票因存在：同理，化也存在，再由单调性)≤，)≤) x为间断点→f)≠f,)户，)-f)>0→为第一类间断点. 例6设f为la,上递增函数，其值域为fa,fb),证明f)eC[a,b
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 5 ⑵ lim ( ) 1 0 = → + f x x , lim ( ) 1 0 = − → − f x x , f (0) = 1 ,故 f 在 x = 0 右连续非左连续,为第一类间断点. ⑶ 0 x m m ( ) 时,在 0 x 的右侧取有理数列 { } pn 及无理数列 { }n q ,使 0 lim p x n n = → n n q → = lim ,于是有 f ( pn ) = sin pn → sin x0 0 而 f (qn ) = 0 lim ( ) 0 f x x x → + 不存在,故 0 x m m ( ) 为 f 的第二类间断点； 0 x m m = ( ) 时, | ( ) ( ) | | ( ) | |sin | 0 f x − f x = f x x 0 x → x 时, sin x → sin x0 = 0 .故 − = → lim | ( ) ( 0 ) | 0 0 f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → （或： ( ) | | | 2 ( )sin 2 |sin | |sin sin | 2 | cos 0 0 0 0 x = x − x = x + x x − x x − x ） 此例可看出,它有无数多个孤立的连续点,而在被这些连续点隔开的每个开区间内,函 数是处处不连续的.实际上, f (x) = sin x D(x) . 推广 ： → 连续, f (x) = (x) D(x) （ x ）,则 的零点是 f 的连续点,其余的点 是 f 的第二类间断点. 此例也说明：一个函数在一点 0 x 连续,并不意味着它在 0 x 的某个领域内也连续. 例 5 证明：设 f 为区间 I 上的单调函数,若 x I 0 为 f 的间断点,则必是 f 的第一类间断 点. 证明 设 f (x) 单调递增,则 0 x x , ( ) ( ) 0 f x f x ,从而 f (x) 在 0 x 的左领域上单调递增有 上界,因而 lim ( ) 0 f x x x → − 存在；同理, ( ) 0 + f x 也存在,再由单调性 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x f x f x 0 x 为间断点 ( ) ( ) 0 0 − + f x f x ( 0 ) − ( 0 ) 0 + − f x f x 0 x 为第一类间断点. 例 6 设 f (x) 为 [a,b] 上递增函数,其值域为 [ f (a), f (b)] ,证明 f (x) C[a,b]