《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 §4.2连续函数的性质 教学章节：第四章连续函数一一§4.2连续函数的性质 教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。 教学要求： (1)掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明： 熟知复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函 数的这些重要性质： (2)掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中 加以运用： (3)理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这 一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别， 教学重点：闭区间上连续函数的性质： 教学难点：一致连续的概念 散学过程 引言 函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中 来 一、 连续函数的局部性质 性质1（局部有界性）若f在x,连续.则f在某U(x)有界 证明据∫在连续的定义，%>0,36>0，当xeU(o:)时，满足 f(x)-f(xo)< 现取8=l,相应存在。>0，当xeU(o:)时，就有 |f(x)川-|fo)川sfx)-f(xo)川<1，→f(x)≤|fxo)川+1=M 注类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等. 性质2（局部保号性）若∫在连续，且f)>0(or<0)则对任何正数 r∈(0，fx)》(r∈fx),0),存在某U(x)有fx)>r>0fx)<r<0)
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 1 §4.2 连续函数的性质 教学章节：第四章 连续函数——§4.2 连续函数的性质 教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用. 教学要求： （1）掌握连续的局部性质（有界性、保号性）,连续函数的有理运算性质,并能加以证明； 熟知复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函 数的这些重要性质； （2）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ,理解其几何意义,并能在各种有关的具体问题中 加以运用； （3）理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这 一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别. 教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念. 教学过程： 引言 函数的连续性是通过极限来定义的,因而有关函数极限的诸多性质,都可以移到连续函数中 来. 一、 连续函数的局部性质 性质 1（局部有界性）若 f 在 0 x 连续.则 f 在某 0 U x( ) 有界. 证明 据 f 在 0 x 连续的定义, 0, 0, U( ; ) , 当 x x0 时 满足 ( ) − ( ) 0 f x f x ． 现取 =1,相应存在 0 0, 当 x U( x0 ; 0 ) 时,就有 f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) 1 , f (x) f (x0 ) + 1 = M ． 注 类似可证连续函数的其余局部性质,例如四则连续性质、局部保号性质等等． 性 质 2 （ 局 部 保 号 性 ） 若 f 在 0 x 连 续 , 且 0 f x or ( ) 0( 0) 则 对 任 何 正 数 0 r f x (0, ( )) 0 ( ( ( ),0)) r f x ,存在某 0 U x( ) 有 f x r f x r ( ) 0( ( ) 0)
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 注①在具体应用局部保号性时，r取一些特殊值，如当化)>0时，可取r=,则存在 U化)，使得当x∈U化)有)>：②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存 在”，改为“连续”，把U(x)改为U°()其余一致. 性质3（四则运算）若∫和8在x点连续则∫±88食(8)≠0)也都在点，连续 问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质4（复合函数的连续性）若函数fx)在点xo连续，g(0在点连续，且“，=f(x) 则复合函数f(x刃在点x0连续. 证明E>0,6>0,当lu-%K可时|g0）-gu,)k 对上述可>0,36>0，当x-K6时u-4Hf)-f,k8 →E>0,36>0,只要x-xKδ便有8(fx》-gf》K6 即gLf(x引在点xo连续. 注)据连续性定义，上述定理可表为：mgfx=g/】=gmfx.(即函数运 算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限.) 推论若8r)eC(a,),值域包含于a,),f0eCa,B),则几g(xeC(a,b) 例1求1 imsin(1-x2) 2)若复合函数g°∫的内函数∫当x→x,时极限为a,又外函数g在u=a连续，上面的等式 仍成立.（因此时若mf)=a=f化，）的话是显然的：若mf)=a≠f化)，或()在x=名 无定义，即x是∫的可去间断点时，只需对性质4的证明做修改：“1x-xk6”为“0x-xk6” 即可).故可用来求一些函数的极限. 的2来超服D四-要：@平 性质5（反函数的连续性）若函数∫在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f在其定义域 [Uf(a),f(b]或[f(b,f(a】上连续
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 2 注 ①在具体应用局部保号性时, r 取一些特殊值,如当 0 f x( ) 0 时,可取 0 ( ) 2 f x r = ,则存在 0 U x( ) ,使得当 0 x U x ( ) 有 0 ( ) ( ) 2 f x f x ；②与极限相应的性质做比较可见,这里只是把“极限存 在”,改为“连续”,把 0 U x( ) 改为 0 0 U x( ) 其余一致. 性质 3 （四则运算）若 f 和 g 在 0 x 点连续,则 0 , , ( ( ) 0) f f g f g g x g 也都在点 0 x 连续. 问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质４（复合函数的连续性） 若函数 f (x) 在点 0 x 连续, g(u) 在点 0 u 连续,且 ( ) 0 0 u = f x , 则复合函数 g[ f (x)] 在点 0 x 连续. 证明 0, 1 0 ,当 0 1 | u − u | 时 | ( ) − ( ) | g u g u0 , 对上述 1 0 , 0 ,当 | x − x0 | 时 0 0 1 | | | ( ) ( ) | u u f x f x − = − 0, 0 ,只要 | x − x0 | 便有 | ( ( )) − ( ( )) | 0 g f x g f x . 即 g[ f (x)] 在点 0 x 连续. 注 1) 据连续性定义,上述定理可表为： 0 0 0 lim [ ( )] [ ( )] [lim ( )] x x x x g f x g f x g f x → → = = .（即函数运 算与极限可以交换次序,条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限.） 推论 若 g(x) C (a,b) ,值域包含于 (, ) , f (t) C (, ) ,则 f [g(x)] C (a,b) 例 1 求 2 1 limsin(1 ) x x → − . 2) 若复合函数 g f 的内函数 f 当 0 x x → 时极限为 a,又外函数 g 在 u a = 连续,上面的等式 仍成立.（因此时若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x a f x → = = 的话是显然的；若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x a f x → = ,或 f x( ) 在 0 x x = 无定义,即 0 x 是 f 的可去间断点时,只需对性质４的证明做修改：“ 0 | | x x − ”为“ 0 0 | | − x x ” 即可）.故可用来求一些函数的极限. 例 2 求极限（1） 0 sin lim 2 x x → x − ;（2） sin lim 2 x x → x − . 性质 5（反函数的连续性） 若函数 f 在 [ , ] a b 上严格单调并连续,则反函数 1 f − 在其定义域 [ ( ), ( )] f a f b 或 [ ( ), ( )] f b f a 上连续
三、区滑上速铁路致的至本径质 第四章连续函数 海南大学数学系 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质.现将将基本的列举如下，从几何上看，这些性质 都是十分明显的.但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§2给出.先给出下面的关于 “最大大值”的定义： 定义1设∫为定义在数集D上的函数，若存在x,∈D,使得对一切x∈D都有fx)≥fx) (fx)≤fx)),则称∫在D上有最大（小）值，并称fx)为∫在D上的最大（小）值. 例如，y=sinx,0,zym=1、ym=0, 一般而言，∫在其定义域上不一定有最大（小）值，即使x)在D上有界。 例如：x)=x,x∈0,1)无最大（小）值： 「1 f(x)= x∈0，D在[0,1门上也无最大（小）值。 2,x=0,1 (一)性质 个y 性质1（最大、最小值定理）若f在闭区间[a,上连续，则f在 B [a,b]上有最大值与最小值. y=f(x) 性质2（有界性定理）若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界. 思考①考虑函数fx)=x,x∈(0，)，g(x)= 仁，xe0,)上述结 2,x=0,1 论成立否？说明理由： ②∫要存在最大（小）值或有界是否一定要∫连续？是否一定要闭区间呢？ 结论上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。 性质3（介值定理）设f在[a,b1上连续，且f(@≠f(b).若u是介于f(a)和fb)之间的任 何实数，则至少存在一点xe(a,b),使得f(x)=4. 注表明若f在[a,b1]上连续，又fa)<fb)的话，则f在a,b1上可以取得f(a)和fb)之间 的一切值. 性质4（根存在定理）若∫在[a,b1上连续，且f(a)和fb)异号(f(a)fb)<0),则至少 存在一点x∈[a,b],使得f(x)=0. 几何意义若点A(a,f(a)和B(b,fb)》分别在x轴两侧，则连接A、B的曲线y=fx)与x 轴至少有一个交点. (二)闭区间上连续函数性质应用举例
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 3 二、 区间上连续函数的基本性质 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质.现将将基本的列举如下.从几何上看,这些性质 都是十分明显的.但要严格证明它们,还需其它知识,将在第七章§2 给出.先给出下面的关于 “最大大值”的定义： 定义 1 设 f 为定义在数集Ｄ上的函数,若存在 0 x D ,使得对一切 x D 都有 0 f x f x ( ) ( ) （ 0 f x f x ( ) ( ) ）,则称 f 在Ｄ上有最大（小）值,并称 0 f x( ) 为 f 在Ｄ上的最大（小）值. 例如, y x = sin ,[0, ] . max y =1、 min y = 0. 一般而言, f 在其定义域上不一定有最大（小）值,即使 f x( ) 在Ｄ上有界. 例如： f x x x ( ) , (0,1) = 无最大（小）值； 1 , (0,1) ( ) 2, 0,1 x f x x x = = 在［０,1］上也无最大（小）值. (一) 性质 性质 1（最大、最小值定理）若 f 在闭区间 [ , ] a b 上连续,则 f 在 [ , ] a b 上有最大值与最小值. 性质 2（有界性定理）若 f 在 [ , ] a b 上连续,则 f 在 [ , ] a b 上有界. 思考 ①考虑函数 f x x x ( ) , (0,1) = , 1 , (0,1) ( ) 2, 0,1 x g x x x = = 上述结 论成立否？说明理由； ② f 要存在最大（小）值或有界是否一定要 f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的,而非必要的. 性质 3（介值定理）设 f 在 [ , ] a b 上连续,且 f a f b ( ) ( ) .若 是介于 f a( ) 和 f b( ) 之间的任 何实数,则至少存在一点 0 x a b ( , ),使得 0 f x( ) = . 注 表明若 f 在 [ , ] a b 上连续,又 f a f b ( ) ( ) 的话,则 f 在 [ , ] a b 上可以取得 f a( ) 和 f b( ) 之间 的一切值. 性质 4（根存在定理） 若 f 在 [ , ] a b 上连续,且 f a( ) 和 f b( ) 异号（ f a f b ( ) ( ) 0 ）,则至少 存在一点 0 x a b [ , ],使得 0 f x( ) 0 = . 几何意义 若点 A a f a ( , ( )) 和 B b f b ( , ( )) 分别在 x 轴两侧,则连接Ａ、Ｂ的曲线 y f x = ( ) 与 x 轴至少有一个交点. (二) 闭区间上连续函数性质应用举例 y O x a b y=f(x)
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 关健构造适当的∫；构造适当的闭区间。 例9正明方程x-sK=0在0孕内至少有一实根 证明：令=-cosx,则)ec0经》 而 f0)=-1<0.=>0 由零点存在定理即可得证 例4证明方程x’+4x2-3x-1=0有三个实根 证明f)=x2+4x2-3x-1=0,则f0)=-lf0=1f-1)=5.mf=-∞ 故。<-1使得化)<0（也可算得f八-）=-11<0)由零点存在定理即得证， 例5证明若P是正数，n是正整数，则存在唯一正数xo使得G=P (通常地，x0称为P的n次正根（算术根），写作=P) 证明①存在性：令m)=x”(结论是说存在。>0使)=P,这类问题一般用介值定理)， 则fx)eC(-0,+):f0)=0<p,如b>0使b”>P则由介值定理结论成立 而血”=切，故b>0使6”>p. ②唯一性：X0”=名”=p(化>0x>0)→x0”-x”=(-xx++xm)=0 →X0-X=0即X0=x」 例6设f)eC0,且0≤f)≤L,证明至少存在一点ce0,使fe)=c(著名的 Brouwer不动点定理). 证明结论提示我们作F)=f)-x,求F)的零点 如fO)=0或f)=1则结论成立.现设f(0)>0,f)<1
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 4 关健 构造适当的 f ；构造适当的闭区间. 例 3 证明方程 x −cos x = 0 在 ) 2 (0, 内至少有一实根 证明：令 f (x) = x − cos x ,则 ]) 2 ( ) ([0, f x C ；而 f (0) = −1 0 , 0 2 ) 2 ( = f 由零点存在定理即可得证. 例 4 证明方程 4 3 1 0 3 2 x + x − x − = 有三个实根. 证明 f (x) = 4 3 1 0 3 2 x + x − x − = ,则 f (0) = −1, f (1) = 1, f (−1) = 5 , = − →− lim f (x) x , 故 x0 −1 使得 0 f x( ) 0 （也可算得 f (−5) = −11 0 ）由零点存在定理即得证. 例 5 证明若 p 是正数, n 是正整数,则存在唯一正数 0 x 使得 x p n 0 = . （通常地, 0 x 称为 p 的 n 次正根（算术根）,写作 n x0 = p ） 证明 ①存在性：令 n f (x) = x （结论是说存在 x0 0 使 f (x0 ) = p ,这类问题一般用介值定理）, 则 f (x) C(−,+) ； f (0) = 0 p ,如 b 0 使 b p n 则由介值定理结论成立. 而 = + →+ n x lim x ,故 b 0 使 b p n . ②唯一性： x x p n n 0 = 1 = ( 0, 0) x0 x1 ( )( ) 0 1 1 1 0 − 1 = 0 − 1 0 + + = n n n− n− x x x x x x x0 − x1 = 0 即 0 1 x = x . 例 6 设 f (x) C[0,1] ,且 0 f (x) 1 ,证明至少存在一点 c [0,1] 使 f (c) = c （著名的 Brouwer 不动点定理）. 证明 结论提示我们作 F(x) = f (x) − x ,求 F(x) 的零点 如 f (0) = 0 或 f (1) = 1 则结论成立.现设 f (0) 0, f (1) 1
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 则F0F0<0,F()eC0,→，∈0，D使Fx)=0即)=x. 象这类有关不动点问题及()=)的根的存在性问题常常是作辅助函数想法化为零点存 在问题研究.作辅助函数的方法是从结论中得到启示 例7证明：y=sinxEC(-∞，+oo) 证明x。∈（-+o)△y=sinp+△x)-sm飞=2c0s2一sn2之0△r0) 2 故sx在xo连续.由xo的任意性即可推出结论. sinx 其定义域内连续. 定理区间上严格单调函数，如果值域为一区间，则函数连续。 本定理可看成介质定理之逆：连续函数可以取到一切中间值，反之不对，看例子 「x0≤x<1, f(x)=3-x1≤x≤2 x2<x≤3 它可取一切中间值，却不连续。但如加上严格单调条件，就成立了. 定理的证明不妨设fx)在区间I=(a,b)严格上升，若fx)在。∈I不连续，则 ,-0)≤f)≤f,+0)中必有一严格不等号成立，比如，-0)<f),则值域包含在 Ua+0,fx,-0u[fxf6-0》中，就不是一个区间了. 下面定理给出反函数的连续性。 三、反函数的连续性： 定理设=eCa创，严格上开，记感)a,即)B,〔a,B可能为 0,+0)则 (1)在(a,)上存在反函数x=f'): (2)x=f')在a,)上严格上升：
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 5 则 F(0)F(1) 0 , F(x) C[0,1] (0,1) x0 使 F(x0 ) = 0 即 0 0 f (x ) = x . 象这类有关不动点问题及 f (x) = g(x) 的根的存在性问题常常是作辅助函数想法化为零点存 在问题研究.作辅助函数的方法是从结论中得到启示. 例 7 证明： y = sin x C(−,+) 证明 ( , ) x0 − + , 0 0 y = sin( x + x) − sin x 0 2 sin 2 2 2cos 0 → + = x x x （ x →0 ）, 故 sin x 在 0 x 连续.由 0 x 的任意性即可推出结论. 同理, y = cos x C(−,+) sin tan cos x x x = 、 cos cot sin x x x = 、 x x cos 1 sec = 、 x x sin 1 csc = 均在 其定义域内连续. 定理 区间上严格单调函数,如果值域为一区间,则函数连续. 本定理可看成介质定理之逆：连续函数可以取到一切中间值,反之不对,看例子 − = 2 3. 3 1 2, 0 1, ( ) x x x x x x f x 它可取一切中间值,却不连续. 但如加上严格单调条件,就成立了. 定理的证明 不 妨设 f (x) 在区间 I = (a,b) 严格上升 , 若 f (x) 在 x I 0 不连续 , 则 ( 0) ( ) ( 0) f x0 − f x0 f x0 + 中必有一严格不等号成立,比如 ( 0) ( ) 0 0 f x − f x ,则值域包含在 ( ( 0), ( 0)] [ ( ), ( 0)) f a + f x0 − f x0 f b − 中,就不是一个区间了. 下面定理给出反函数的连续性. 三、 反函数的连续性: 定理 设 y = f (x) C (a,b) ,严格上升,记 = = inf f (x) , sup f (x) a x b a x b ,（ , 可能为 − ,+ ）则 （1） 在 ( , ) 上存在反函数 ( ) 1 x f y − = ； （2） ( ) 1 x f y − = 在 ( , ) 上严格上升；