海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二章 数列极限 2.3 数列极限存在的条件

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 §2.3数列极限存在的条件 教学内容：第二章数列极限一一§2.3数列极限存在的条件 教学目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。 教学要求：(1)掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限： (②)初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判 断某些数列的敛散性 教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用. 教学难点：相关定理的应用. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引言 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存 在性问题)：若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）·这是极限理论的两基本 问题.在实际应用中，解决了数列{a,}极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但 由于当n充分大时，a,能充分接近其极限a,故可用a,作为a的近似值. 本节将重点讨论极限的存在性问题。 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办 法是直接从数列本身的特征来作出判断。 从收敛数列的有界性可知：若{a}收敛，则{a,}为有界数列：但反之不一定对，即{a,}有 界不足以保证{a}收敛.例如{-1}但直观看来，若{a}有界，又{a}随n的增大（减少）而 增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）· 为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称一一单调数列 一、单调数列 定义若数列{a.}的各项满足不等式an≤a(a≥a),则称{a.}为递增（递减）数列.递 增和递减数列统称为单调数列

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 1 §2.3 数列极限存在的条件 教学内容：第二章 数列极限 ——§2.3 数列极限存在的条件 教学目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具. 教学要求：(1) 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限； (2) 初步理解 Cauchy 准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用 Cauchy 准则判 断某些数列的敛散性. 教学重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用. 教学难点：相关定理的应用. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引言 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存 在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本 问题.在实际应用中，解决了数列 an 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但 由于当 n 充分大时， n a 能充分接近其极限 a，故可用 n a 作为 a 的近似值. 本节将重点讨论极限的存在性问题. 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办 法是直接从数列本身的特征来作出判断. 从收敛数列的有界性可知：若 an 收敛，则 an 为有界数列；但反之不一定对，即 an 有 界不足以保证 an 收敛.例如 ( 1)  n − .但直观看来，若 an 有界，又 an 随 n 的增大（减少）而 增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）. 为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列. 一、单调数列 定义 若数列 an 的各项满足不等式 1 1 ( ) n n n a a a a   + + ，则称 an 为递增（递减）数列.递 增和递减数列统称为单调数列．

《数学分析》上厨教案 第二章数列极限 海南大学数学系 :得为适减数列：为递指数列：以不是单调数列 、n 二、单调有界定理 问题(1)单调数列一定收敛吗？；(2)收敛数列一定单调吗？ 一个数列{a},如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以 了.此即下面的极限存在的判断方法. 定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限 几何解释单调数列a,只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：(1)点0，沿数轴移向 无穷远：(2)a,无限趋于某一个定点4，即4→4n→四). 证明不妨设a,}单调增加有上界，把a,}看作集合，有确界原理，spa,}=“存在 即：(1)n,a.≤“：(2)e>0,3n∈N使an>H-e, 由于a,}单调增加，故当n>n时有4-6<a≤an≤1<1+￡ 即当”>%时la,-4水E亦即血a.=从. 例1a>0,证明数列 a=a,a,=a+a,a=a+a+后，a,=a+a++后 收敛，并求其极限 证明从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的. 易见a.2a>0,且4=a+a,4=a+a,a,=a+a, 从而a后=a+a-l<a+a。两端除以a,得 n,a,之后一a≤a,<1+后故a有界即得极限存在

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 2 例如： 1 n       为递减数列；   2 n 为递增数列； ( 1)n n   −     不是单调数列. 二、单调有界定理 问题 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？ 一个数列 an ，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以 了.此即下面的极限存在的判断方法. 定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限. 几何解释 单调数列 { }n a 只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点 n a 沿数轴移向 无穷远；（2） n a 无限趋于某一个定点 A ，即 a → A(n → ) n . 证明 不妨设 { }n a 单调增加有上界，把 { }n a 看作集合，有确界原理， sup{an } =  存在 即：（1） n， an   ；（2）   0，n0  N 使 n0 a   −  , 由于 { }n a 单调增加，故当 n  n0 时有  −   n0 a      +  an 即当 n  n0 时 | −  |  an 亦即 =  → n n lim a . 例 1 a  0 ，证明数列 a1 = a ， a2 = a + a ， a3 = a + a + a ，.， n a a a a = + + + ，. 收敛，并求其极限. 证明 从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的. 易见 an  a  0 ，且 a2 = a + a1 ， a3 = a + a2 ，.， an = a + an−1 ，., 从而 1 2 an = a + an−  a + an 两端除以 n a 得 n n a a a  1+ , n， an  a  a  an 1+ a 故 { }n a 有界即得极限存在

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 设ma=1,对等式a=a+a两边取极限，则有 G=a*)=*03r-14a311±西 2 =1++40 因a,}为正数列，故I20,因此取 2即为所求极限。 例2求卧。(k为一定数，a>1) a-0+甘1，则3W,当>w时 解记6，=a,则c>0且Can) a 2+<1 故n>N后，c,}单调递减，又有c。>0→极限一定存在，设为A, 例4a>0与>0一+号)求回（计算石的逐孩适近法亦即达代 法). 由的值不等式。有号+》上=反→有下，注盒到时 有x≥Va,有 lim x=a. 三、柯西收敛准则 (一)引言

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 3 设 n→ lim a l n = ，对等式 1 2 an = a + an− 两边取极限，则有 lim lim ( ) 1 2 − → → = + n n n n a a a = an a n − + → 1 lim  l = l + a 2 2 1 1 4a l  +  = , 因 { }n a 为正数列，故 l  0 ，因此取 2 1 1 4a l + + = 即为所求极限. 例 2 求 n→ lim n k a n （ k 为一定数， a 1 ） 解 记 cn = n k a n ，则 cn  0 且 k k n n n a n n c a c ) 1 (1 1 ) 1 ( 1 1 = + + = + a 1 ，则 N ，当 n  N 时 ) 1 1 (1 1 +  k a n ， 故 n  N 后， { }n c 单调递减，又有 cn  0  极限一定存在，设为 A , 由 n k n c a n c ) 1 (1 1 +1 = + 两边取极限得 A a A 1 = （ a 1 ）  A = 0. 例 3 设 , ( 2 ). 1 3 1 2 1 = 1+ + + +      n an  证明数列{ n a }收敛. 例 4 . 2 1 0, 0. 1 1           + = + n n n x a a x x x 求 lim . n n x → ( 计算 a 的逐次逼近法, 亦即迭代 法 ). 解 由均值不等式, 有         + = + n n n x a x x 2 1 1 . { }n n n a x x a  x  =  有下界,注意到对 n, 有 x a, n  有 n n n n x a a x a x x 1. ( ) 1 2 1 1 2 1 2 2 1   =         +         = + + ↘， , lim x a. n n = → 三、柯西收敛准则 (一) 引言

《数学分析》上厨教案 第二章数列极限 海南大学数学系 单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件一 一柯西收敛准则。 (二)Cauchy收敛准则 定理(Cauchy收敛准则)数列{a,}收敛的充分必要条件是：对任给的e>0,存在正整数 N,使得当n,m>N时有1a,-ank&. 证明“→”a,收敛，则存在极限，设ma,=0,则G>0,3V,当>N时有 |a,-ak6l2-当mm>N时有|a,-amam-a+|a。-ak6 “←”先证有界性，取6=l,则N,nm>N一|an-amk1 特别地，n>N时|a。-ak1→anaw1l+l 设M=+l,则n,la.sM 再由致密性定理知，a,}有收敛子列a,},设血a。=a, Vs>0.N,n,m>Nla,-aK8/2 3K,k>K→|aw-ake/2 取N=maNK,N),当n>N时有 nvd 2N+1>N la -als a-an +lan-aKE/2+612=E 故ma,=a Cauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列） Cauchy收敛准则的另一表示形式： c>0,3V,当n>N时，对PeZ有lap-a,KE (三)说明 l、auchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 4 单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件— —柯西收敛准则. (二) Cauchy 收敛准则 定理（Ｃauchy 收敛准则） 数列 an 收敛的充分必要条件是：对任给的   0 ，存在正整数 Ｎ，使得当 n m N ,  时有 | | n m a a −   . 证明 “” { }n a 收敛，则存在极限，设 an a n = → lim ，则   0 ， N ，当 n  N 时有 | an − a |  / 2  当 n,m  N 时有 | a − a || a − a | + | a − a |  n m m n “ ”先证有界性，取  =1 ，则 N ，n,m  N  | an − am | 1 . 特别地， n  N 时 | an − aN+1 |1  | an || aN+1 | +1 , 设 max{| |,| |, ,| |,| | 1} M = a1 a2  aN aN+1 + ，则 n，| an | M . 再由致密性定理知， { }n a 有收敛子列 { } nk a ，设 a a nk k = → lim ,   0，N1， 1 n, m  N  | | / 2 n m a a −   , K ，k  K  | a − a |  / 2 nk , 取 max( , ) N = K N1 ，当 n  N 时有 1 1 N n N N +  +   −  − + −   +  =  + + | | | | | | / 2 / 2 1 1 a a a a a a n n nN nN , 故 an a k = → lim Cauchy 列、基本列（满足 Cauchy 收敛准则的数列） Cauchy 收敛准则的另一表示形式：   0，N ，当 n  N 时，对 P +   = Z 有 −   + | | an P an . (三) 说明 1、auchy 收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 2、auchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到 后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意 小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起 3、auchy准则把c-N定义中a.与a的之差换成an与a.之差.其好处在于无需借助数列以 外的数ā，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性 例如数列a,满足la-a,上gla,-al(n=2.3)且0<g<1,证明数列a,收 敛 证明令x3-x卡c>0. |al-a sqla-an-i|≤g|a-1-an-2s.≤g-lx-xl amp-a anp-a+la-amp21++lam-a sc(g+p-2+gm-3++g-)=cg-(1+q+.+g-) 1-9. K-e N=1+ E>0,(不妨 0<6<1-4),取 n9,则当>N时，对任给自然数P有 lo.k ·故由Cauchy收敛准则知数列x,}收敛 制证项数别。1+宁.片发数 证明要证：3>0，对N,必有m>N,%>N使得a一a上。 a.-a2+nd明 1 设m>n则

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 5 2、auchy 收敛准则的条件称为Ｃauchy 条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到 后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意 小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起. 3、auchy 准则把  −N 定义中 n a 与 a 的之差换成 n a 与 ma 之差.其好处在于无需借助数列以 外的数 a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性. 例 如数列 { }n a 满足 | | | | an+1 − an  q an − an−1 （ n = 2,3,  ）且 0  q  1 ，证明数列 { }n a 收 敛. 证明 令 | x2 − x1 |= c  0， | | | | an+1 − an  q an − an−1 2 1 1 2 2 1 | | | | n n n q a a q x x −  −   − − − | | | | | | | |  an+ p − an  an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 ++ an+1 − an ( ) + −2 + −3 −1  + + + n p n p n c q q  q (1 ) −1 −1 = + + + n p cq q  q q q c n −  − 1 1 .   0 ，（不妨设 q c −   1 0  ），取 ] ln ) 1 ln( [1 q c q N  − = + ，则当 n  N 时，对任给自然数 p 有   − −  − + q cq a a n n p n 1 | | 1 .故由 Cauchy 收敛准则知数列 { }n x 收敛. 例 证明数列 n an 1 2 1 = 1+ ++ 发散. 证明 要证：  0  0 ，对 N ，必有 m0  N ， 0 n N 使得 0 | | 0 0 −   am an 设 m  n 则 ( ) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 | | n n m n n n m n am an + − + + + + + + + = + + + − =   m n m m n m m m = − −  + + + = 1 1 1 1 