《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 §3.5无穷小量与无穷大量 教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念. 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大 教学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念：能够写出无穷小量与无穷大量的 分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量.在计算及证明中，熟练使用“。” 与“0”. 教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念 教学难点：熟练使用“o”与“0”进行运算. 教学过程： 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：1ima,=0.我们称之 为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的 情形例如： limsinx=0.limx2=0., 我们给这类函数一个名称一一“无穷小量”， 既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步， 这些“量”有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容一一无穷小量与无穷大量. 一、无穷小量 (一)定义 定义1设f在某U(x)内有定义.若1imfx)=0,则称∫为当x→时的无穷小量.记作： f八x)=(I(x→x). 类似地可以定义当x→x,x→x,x→+0，x→-0，x→0时的无穷小量。 例x(k=1,2sinx,1-cosx都是当x→0时的无穷小量：√-x是当x→厂时的无穷小 量：子0是x→0时的无穷小量
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 §3.5 无穷小量与无穷大量 教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． 教学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念；能够写出无穷小量与无穷大量的 分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ o ” 与“ O ”． 教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学难点：熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算． 教学过程： 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征： lim 0 n n a → = . 我们称之 为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的 情形.例如： 0 limsin 0, x x → = 2 0 lim 0, x x → = ， 我们给这类函数一个名称——“无穷小量”. 既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步， 这些“量”有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量. 一、无穷小量 (一) 定义 定义 1 设 f 在某 0 0 U x( ) 内有定义.若 0 lim ( ) 0 x x f x → = ，则称 f 为当 0 x x → 时的无穷小量.记作： 0 f x x x ( ) (1)( ) = → . 类似地可以定义当 0 0 x x x x x x x , , , , → → → + → − → + − 时的无穷小量. 例 ( 1,2, ),sin ,1 cos k x k x x = − 都是当 x →0 时的无穷小量； 1− x 是当 x 1 → − 时的无穷小 量； 2 1 sin , x x x 是 x → 时的无穷小量
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 (仁)无穷小量的性质 1、先引进以下概念 定义2（有界量）若函数g在某U(x)内有界，则称g为当x→x,时的有界量，记作： g(x)=O1)(x→x). 例如：血x是当→0时的有界量，即加=00：→：如是当x→0时的有界量。 即sin二=0(x→0). 注任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若fx)=)x→x)，则 fx)=O10(x→x): 区别“有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数∫是有界函数或函数∫是有界的，意味 着存在M>0,∫在定义域内每一点x,都有1f(x)sM.这里“有界”与点无关：而有界是与“点 有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界 2、性质 性质1两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量 性质2无穷小量与有界是的乘积为无穷小量. 性质3imf)=A一f)-A是当，-时的无穷小量台m(f)-小=0. 例如：limxsin-=0,1im(x±r)=0,1 imxsinx=0. 问题两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑： 0草手曾-回等2 引申同为无芳小量。一三0，面产不存在：这说明“无穷小量”是有“馒别”的 这个“级别”表现在收敛于0（或趋近于0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别” 的标志是x的“指数”，当x→0时，x的指数越大，它接近于0的速度越快这样看来，当x→0 时，x2的收敛速度快于x的收敛速度.所以其变化结果以x2为主.此时称x2是（当x→0时）x的 高阶无穷小量，或称x→0时，x是x的低阶无穷小量. 一般地，有下面定义：
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 (二) 无穷小量的性质 1、先引进以下概念 定义 2（有界量） 若函数 g 在某 0 0 U x( ) 内有界，则称 g 为当 0 x x → 时的有界量，记作： 0 g x O x x ( ) (1)( ) = → . 例如： sin x 是当 x → 时的有界量，即 sin (1)( ) x O x = → ； 1 sin x 是当 x →0 时的有界量， 即 1 sin (1)( 0) O x x = → . 注 任 何 无 穷 小 量 都 是 有 界 量 （ 局 部 有 界 性 ）， 即 若 0 f x x x ( ) (1)( ) = → ， 则 0 f x O x x ( ) (1)( ) = → . 区别 “有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数 f 是有界函数或函数 f 是有界的，意味 着存在Ｍ>0， f 在定义域内每一点 x ，都有 | ( ) | f x M .这里“有界”与点无关：而有界是与“点 有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界. 2、性质 性质 1 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 性质 2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量. 性质 3 0 lim ( ) ( ) x x f x A f x A → = − 是当 0 x x → 时的无穷小量 0 lim( ( ) ) 0 x x f x A → − = . 例如： 2 0 1 lim sin 0 x x → x = ， 2 3 0 0 lim( ) 0,lim sin 0 x x x x x x → → = = . 问题 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑： 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 sin 2 lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2 x x x x x x x x x x → → → → → x x x x x = = = = = . 引申 同为无穷小量， 2 0 lim 0 x x → x = ，而 2 0 lim x x → x 不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的. 这个“级别”表现在收敛于 0（或趋近于 0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别” 的标志是 x 的“指数”，当 x →0 时， x 的指数越大，它接近于 0 的速度越快.这样看来，当 x →0 时， 2 x 的收敛速度快于 x 的收敛速度.所以其变化结果以 2 x 为主.此时称 2 x 是（当 x →0 时） x 的 高阶无穷小量，或称 x →0 时， x 是 2 x 的低阶无穷小量. 一般地，有下面定义：
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 3、穷小量阶的比较（主要对x→x,叙述，对其它类似） 设当x→x时，了，g均为无穷小量。 1)若一得=0，则称时/为：的离阶无的小道，成称g为了的低阶无方小童 配作8=sr→x.即ogxr→x)台四得p 例卿=0→“-Xx→0，-回0 1-cosx=0(sinx)(x→0). 同题-0-0-0，此时是可说1-f=60+→)2 引申与上述记法：fx)=o(g(x)x→x)相对应有如下记法：fx)=0(g(x)x→x), 这是什么意思？含义如下： 若无穷小量f与g满足关系式国sL,x∈U,则记作f=Ogx→. 例如， 1)1-cosx=0rx→0)，2+sin2=0x→0). 2)若fx)=o(g(x)(x→x)→fx)=Og(x)Mx→x) 注等式f(x)=o(g(x)Mx→x),f(x)=O(g(x)Mx→x)等与通常等式的含义不同的.这里 的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“=”叫的含义是“∈”. 例如：1-=以偏→0，其中m-吗得-小，而上述等式表示通数 1-ose-得=0为方便起见，记作1-s=am (2)若存在正数K和L,使得在某U化)上有K≤国sL,则称∫与g为当x→x时的 g(x) 同阶无穷小量
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 3、穷小量阶的比较（主要对 0 x x → 叙述，对其它类似） 设当 0 x x → 时， f g, 均为无穷小量. （1）若 0 ( ) lim 0 ( ) x x f x → g x = ，则称 0 x x → 时 f 为 g 的高阶无穷小量，或称 g 为 f 的低阶无穷小量， 记作 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . 即 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → 0 ( ) lim 0 ( ) x x f x → g x = . 例 1 0 lim 0 k k x x x + → = 1 0( )( 0) k k x x x + = → ， 0 0 1 cos lim lim tan 0 x x sin 2 x x → → x − = = − = → 1 cos 0(sin )( 0) x x x . 问题 2 1 1 1 lim lim(1 ) 0 x x 1 x x → → x − = − = + ，此时是可说 2 1 (1 )( 1) − = + → x o x x ？ 引申 与上述记法： 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → 相对应有如下记法： 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → ， 这是什么意思？含义如下： 若无穷小量 f 与 g 满足关系式 0 0 ( ) , ( ) ( ) f x L x U x g x ，则记作 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . 例如， 1） 2 1 cos ( )( 0) − = → x O x x ， (2 sin ) ( )( 0) 2 x x O x x + = → . 2）若 0 0 f x o g x x x f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) ( ) ( ( ))( ) = → = → . 注 等式 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → ， 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → 等与通常等式的含义不同的.这里 的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“ ”. 例如： 1 cos (sin )( 0) − = → x o x x ，其中 0 ( ) (sin ) | lim 0 ( ) x f x o x f → g x = = ，而上述等式表示函数 1 cos − x 0 ( ) | lim 0 ( ) x f x f → g x = .为方便起见，记作 1 cos (sin ). − = x o x （2）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某 0 0 U x( ) 上有 ( ) ( ) f x K L g x ，则称 f 与 g 为当 0 x x → 时的 同阶无穷小量
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 但需要注意：四侣不存在，并不意味着了与8不全为同阶无穷小量，如 x(2+sin-) lim=lim x(2+sin0, =1m(2+sin白不存在.但1s (2+sin xs3,所以x x 与x(2+sin)为当x→0时的同阶无穷小量. 由上述记号可知：若∫与g是当x→，时的同阶无穷小量，则一定有： f(x)=O(g(x)x→). (3)若m因=1，则称∫与g是当x→x时的等价无穷小量，记作)-gxx→) 6g(x) 锅0：1Dg-15sm-→0：2)回20-m9151-sx-号c→0. 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限 的“等价量法”。 定理设函数f、g、h在U°(x)内有定义，且有fx)-g(xx→x). (1)若1imfx)h)=A,则1img(x)hx)=A: 回者=得=&，周=铝-及 例1求 解ra-(→0血44（→0，故-名-号 r. 州g回子-月 sinx sinx h1+x-) 例3 aresin 2 解x→1时，-可→0,22-1→0,1+-∽(x→1
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 但需要注意： 0 ( ) lim ( ) x f x → g x 不 存 在 ， 并 不 意 味 着 f 与 g 不 全 为 同 阶 无 穷 小 量 . 如 0 0 1 lim lim (2 sin ) 0 x x x x → → x = + = ， 0 0 1 (2 sin ) 1 lim lim(2 sin ) x x x x → → x x + = + 不存在.但 1 (2 sin ) 1 3 x x x + ，所以 x 与 1 x(2 sin ) x + 为当 x →0 时的同阶无穷小量. 由上述记号可知：若 f 与 g 是当 0 x x → 时的同阶无穷小量，则一定有： 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . （3）若 0 ( ) lim 1 ( ) x x f x → g x = ，则称 f 与 g 是当 0 x x → 时的等价无穷小量，记作 0 f x g x x x ( ) ( )( ) → . 例如：1） 0 sin lim 1 sin ( 0) x x x x x → x = → ; 2） 2 2 0 2(1 cos ) lim 1 1 cos ( 0) x 2 x x x x → x − = − → . 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限 的“等价量法”. 定理 设函数 f 、 g 、h 在 0 0 U x( ) 内有定义，且有 0 f x g x x x ( ) ( )( ) → . (1) 若 0 lim ( ) ( ) x x f x h x A → = ，则 0 lim ( ) ( ) x x g x h x A → = ； (2) 若 0 ( ) lim , ( ) x x h x B → f x = ，则 0 ( ) lim . ( ) x x h x B → g x = 例 1 求 0 arctan lim x sin 4 x → x . 解 arctan 0 x x x( → ) ，sin 4 4 0 x x x( → ) ，故 0 0 arctan 1 lim lim x x sin 4 4 4 x x → → x x = = . 例 2 2 2 4 4 4 0 0 0 (tan sin ) tan (1 cos ) 1 2 lim lim lim x x x sin sin 2 x x x x x x x x → → → x x x − − = = = . 例 3 3 2 3 1 arcsin 2 1 ln(1 1) lim − + − → x x x . 解 x →1 时， 3 x −1 → 0，2 1 0 3 x 2 − → ，ln(1 1) 3 + x − ∽ 3 x −1 （ x →1 ）
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 acsn282-n22-i(x→1. 是对站 故原式 州4 +a当2 期默他兴男 11 11 千万注意：不是因子不能用等价无方小量错换如一立1，显然不能用中荐” 3 最后给出一个很有用的表达式： -(→即得1，即.0即 g(x) f()-gx)=og(x》或f)=g)+o(g(x》(x→a)）,如snx=x+o(x) 1-raec→0，时称网为e的款宁4宁 1 x2 杂例已知加行-61=0，求a、6, 解原式胆片0身0，数多有09=0 从霜9-1（-创=0 x2 6功 x
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 arcsin 3 2 2 x −1∽ 3 2 2 x −1 （ x →1 ）， 故原式 3 2 1 3 3 3 1 2 2 1 2 1 1 lim 2 1 1 lim = + = − − = → → x x x x x 例 4 x e x x e x x x x ln( ) 2 ln(sin ) lim 2 2 2 0 + − + − → . 解 原式 x x x x x x e e x e e 2 2 2 2 0 ln( ) ln ln(sin ) ln lim + − + − = → ln(1 ) ) sin ln(1 lim 2 2 2 0 x x x e x e x + + = → 1 sin lim 2 2 2 0 = = → x x x e x e x . 千万注意：不是因子不能用等价无穷小量替换.如 2 1 1 1 lim 1 n 1 n n n → − + = ，显然不能用 1 1 n + 替 n 1 最后给出一个很有用的表达式： f x g x x a ( ) ( ) ( → ) 即 ( ) lim 1 ( ) x a f x → g x = ，即 ( ) ( ) lim 0 ( ) x a f x g x → g x − = 即 f (x) − g(x) = o(g(x)) 或 f (x) = g(x) + o(g(x)) (x → a) ， 如 sin x = x + o(x) ， ( ) 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x (x → 0) .此时称 g(x) 为 的主部. ) 1 ( 1 1 1 2 2 2 x o x x x = + + 杂例 已知 ) 0 1 lim ( 2 − − = → + ax b x x x ，求 a、b . 解 原式 ) 0 1 lim ( − − = + = → x b a x x x x ，故必有 ) 0 1 lim ( − − = → + x b a x x x ， 从而 ) 1 1 lim ( − = + = → x b x x a x ) 0 1 lim ( 2 − − = + → x b x x x 1 1 ) lim 1 lim ( 2 = − + − − = + = → → x x x x x b x x