《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 第三章习题课 要求掌握的内容： 1、正确理解、熟练运用6一δ定义去证明极限： 2、掌握函数极限的性质（与数列极限的性质类似）： 3、极限存在的准则：a)两边夹定理：b)海涅定理（归结原则）要比较熟 练地运用；c)Cauchy收敛准则（要知道）： 4、两个重要极限（熟练运用）： 5、无穷小与无穷大（定义），重点是阶的比较、应用. 应注意的问题： 一、怎样正确求得合适的⊙ 用定义证明数列极限时，往往是先假设”大于某固定值，然后通过估计求得 合适的N,类似的，用定义证明函数极限m)=A时，也可先对x作适当限制， 以求得合适的6.一般假设x在的某领域(x,),刀的取值视具体问题而定。 x+x-2 例用6-6定义证明-3效中2-3 证明4)先消去分子分母中可能存在的零化因子x-), f(x)= x2+x-2-(x+2x-1)x+2 x(x2-3x+2)x(x-2x-1)x(x-2) ②将fx)-A表示成如下形式：If)-AHxr-a叫， x2-2x ③)选取合适的7>0使xeUa)时有p)sMa）
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 第三章 习题课 要求掌握的内容： 1、正确理解、熟练运用 − 定义去证明极限； 2、掌握函数极限的性质（与数列极限的性质类似）； 3、极限存在的准则：a）两边夹定理；b）海涅定理（归结原则）要比较熟 练地运用；c）Cauchy 收敛准则（要知道）； 4、两个重要极限（熟练运用）； 5、无穷小与无穷大（定义）,重点是阶的比较、应用. 应注意的问题： 一、怎样正确求得合适的 用定义证明数列极限时,往往是先假设 n 大于某固定值,然后通过估计求得 合适的 N .类似的,用定义证明函数极限 f x A x a = → lim ( ) 时,也可先对 x 作适当限制, 以求得合适的 .一般假设 x 在 0 x 的某领域 ( , ) U x0 , 的取值视具体问题而定. 例 用 − 定义证明 3 ( 3 2) 2 lim 2 2 1 = − − + + − → x x x x x x . 证明 ⑴先消去分子分母中可能存在的零化因子 (x − a) , ( 2) 2 ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 3 2) 2 ( ) 2 2 − + = − − + − = − + + − = x x x x x x x x x x x x x f x . ⑵ 将 | f (x) − A | 表示成如下形式： | f (x) − A |=|(x) | | x − a | , | | 1| 2 3 2 | | 2 3 5 2 3 | | ( 2) 2 | ( ) | | 2 2 2 − − − = − − + + = − + − = x x x x x x x x x x x f x A . ⑶ 选取合适的 0 使 x U(a,) 时有 |(x) | M (a)
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 本题中)=32 -2正，分母中有两个零点0、2，故应使0(a,)与分母的两 个学有相支以复求得喻上并山.货我不统段一片，即段子号，园 阿h号号 →分-2号=3x-2水i,-1分0s-<号 所以.15-2=-1k-是→2-251 于是H品k-9-M 他可以这，>号号-2-2兮3-2 3 0求=m? (最后使fx)-AHp(x)lx-asM|x-aKe 有0-a水奇.故取5=m分，. 对本题即有： g0.取5=m号品.则当0对-1水8时 x2+x-2 x2+x-2 r-3x+2-3 因此， 注()如)-Aks能直接方便解出合适的6，或可直接估计 2
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 本题中 x x x x 2 3 2 ( ) 2 − − = ,分母中有两个零点 0 、 2 ,故应使 U(a,) 与分母的两 个零点相离,以便求得 |(x) | 的上界 M .故我们不妨设 2 1 = ,即设 2 3 2 1 x ,因 而有 2 9 3 2 3 x 2 5 3 2 2 1 − x − 2 5 | 3x − 2 | ； 2 1 1 2 1 − x − 4 1 0 ( 1) 2 x − , 所以, 4 3 1 2 ( 1) 1 2 2 − x − x = x − − − | 2 | 1 4 3 2 x − x , 于是 M x x x x = = − − = 3 10 4 3 2 5 | 2 3 2 | ( ) | | 2 . （也可以这样： 2 1 x 2 1 2 2 3 − x − − 2 1 | x − 2 | 4 1 | x(x − 2) | ） ⑷ 求得 min{ , } M = . （最后使 | f (x) − A |=|(x) || x − a | M | x − a | , 得 M x a 0 | − | ,故应取 min{ , } M = ）. 对本题即有： 0,取 } 10 3 , 2 1 = min{ ,则当 0 | x −1| 时, − − = − + + − ( 3) | ( 3 2) 2 | 2 2 x x x x x − − − || 1| 2 3 2 | 2 x x x x | −1| 3 10 x , 因此, 3 ( 3 2) 2 lim 2 2 1 = − − + + − → x x x x x x 注 (1) 如 | f (x) − A | 能直接方 便解出合适的 , 或可直接估计
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 Ifx)-A长MIx-a叫，则不必设x的取值范围 (②)对单侧极限可相应限制x在x的某单侧领域： 8)对于血f)A或甲)=A,只需须假设x>G或x<-G. 二、常见函数极限的求法 (①)利用定义： (②)利用运算法则（包括复合函数求极限的准则）： (③)约简分式或分子分母有理化： (4)借助无穷小量的性质（特别注意：无穷小量与无穷大量的倒数关系，无穷 小量乘有界量为无穷小量)： (⑤无穷小量替换： (⑥)利用函数极限存在准则： ()利用两个重要极限 在实际求极限过程中，往往是几种方法并用，当然以后还会有新的方法（如洛 必达法则等)·在利用上述方法求极限时应注意必须满足的条件。 例如，判断下列运算是否正确？ 3 -1_(x-) 2- (3) @之错在于分每极限不能为0，应由只二子=0→只 r-2 =0 x-2 (无穷大量 3
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 | f (x) − A | M | x − a | ,则不必设 x 的取值范围； (2) 对单侧极限可相应限制 x 在 0 x 的某单侧领域； (3) 对于 f x A x = →+ lim ( ) 或 f x A x = →− lim ( ) ,只需须假设 x G 或 x −G. 二、常见函数极限的求法 ⑴ 利用定义； ⑵ 利用运算法则（包括复合函数求极限的准则）； ⑶ 约简分式或分子分母有理化； ⑷ 借助无穷小量的性质（特别注意：无穷小量与无穷大量的倒数关系,无穷 小量乘有界量为无穷小量）； ⑸ 无穷小量替换； ⑹ 利用函数极限存在准则； ⑺ 利用两个重要极限 在实际求极限过程中,往往是几种方法并用,当然以后还会有新的方法（如洛 必达法则等）.在利用上述方法求极限时应注意必须满足的条件. 例如,判断下列运算是否正确？ ⑴ = → x x x 1 lim sin 0 → x x 0 lim 0 1 lim sin 0 = x→ x ⑵ 3 1 1 3 lim( ) x 1 1 x x → − − − − 1 1 lim x 1 x → − = − − = − → − 3 1 1 3 lim x x + − (+) = 0 ⑶ = − − = − − → → → lim ( 2) lim ( 1) 2 1 lim 2 2 2 x x x x x x x ⑶之错在于分母极限不能为 0 ,应由 0 1 2 lim 2 = − − → x x x = − − → 2 1 lim 2 x x x （无穷大量
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 与无穷小量的关系). 又如，在复合函数求极限法则中有一种条件要注意，即36>0，当x∈U(a,d) 时)≠A但巴闭=4.我们平时碰到的大量函数忽路了此条件不一定出问 题，但对有些情况是要出问题的。 )=0x为有理数 例如， 0,x08/训=0x为有理数 xx为无理数8)=人r=0 x,x为无理数 虽有f)=0=A,8)=0=B,但g/x】为Dch:函数，处处无极限 例1、mWF+x-F+r 解原式血NF+x-+F-训。 =n+0+w++x+1-号号6 作安袋-滑就海：亚 6(后一方法不易出错} 3smx+xcos 3inx+x cos! xcoS- 2.0+es1+司-典2x 0- a.m-m=色2m-6s甲+区 2 -如2mWm60 2 (无穷 小乘以有界两等于无穷小)·
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 与无穷小量的关系）. 又如,在复合函数求极限法则中有一种条件要注意,即 0 ,当 x U(a, ) 时 f (x) A 但 f x A x a = → lim ( ) .我们平时碰到的大量函数忽略了此条件不一定出问 题,但对有些情况是要出问题的. 例如, = 为无理数 为有理数 x x x f x , 0, ( ) , = = 0, 0 1, 0 ( ) x x g x , = 为无理数 为有理数 x x x g f x , 0, [ ( )] 虽有 f x A x = = → lim ( ) 0 0 , g x B x = = → lim ( ) 0 0 ,但 g[ f (x)] 为 Dirichlet 函数,处处无极限. 例 1、 lim ( ) 2 3 3 2 x x x x x + − + →+ . 解 原式 lim [( ) ( )] 2 3 3 2 x x x x x x x = + − − + − →+ = − + + = →+ 1 1/ 1 1 lim [ x x (1 1/ ) 1 1/ 1 1 3 2 3 + x + + x + 6 1 3 1 2 1 = − = . 或作变换 t x 1 = 得 原式 6 1 1 1 lim 3 0 = + − + = → + t t t t （后一方法不易出错） 2、 (1 cos )ln(1 ) 1 3sin cos lim 2 0 x x x x x x + + + → x x x x x 2 1 3sin cos lim 2 0 + = → 2 1 cos lim 2 3sin lim 0 0 x x x x x→ x→ = + 2 3 0 2 3 = + = 3、 lim (sin x 1 sin x) x + − →+ 2 1 cos 2 1 lim 2sin x x x x x + − + + = →+ 0 2 1 cos 2( 1 ) 1 lim 2sin = + + + + = →+ x x x x x （无穷 小乘以有界两等于无穷小）
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 4、m6m+sm=e m@0e时r-2✉之亮0*s =0-2岁+834 →(e°.e'=e (利用+0=e). 反.色二物动 g-sx(作为课后练习) =典gug)-g65m+g6n-s6m lgx-sinx i)co(sn)-sir(( lim- cos(sin c) Igx-sin x sin (gr-sinsin(sin )-sin(sin x) co)cocos( lgx-sinx 1 igx-sin x cos(x)cos(sin x) x2 11号1-2 6.me2) 0水84号
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 4、 e x x x x + = →+ ) 1 sin 1 lim (sin . x x x x tg x x x ) 1 ) (1 1 ) (cos 1 sin 1 (sin + = + 2 2 1 1 1 2sin 2 sin 2 2 2 1 [(1 2sin ) ] 2 x x x x = − x xtg x tg x tg 1 1 1 ) ] 1 [(1+ 2 2 1 1 1 1 1 2sin (sin / ) 2 2 2 2 2 1 [(1 2sin ) ] 2 x x x x x = − x x tg x tg x tg 1 / 1 1 1 ) ] 1 [(1+ → e e = e −1 0 1 ( ) （利用 u e u u + = → 1 0 lim (1 ) ）. 5、 tgx x tg tgx x x sin ( ) sin(sin ) lim 0 − − → （作为课后练习） tgx x tg tgx tg x tg x x x sin ( ) (sin ) (sin ) sin(sin ) lim 0 − − + − = → tgx x x c x tgx x x tgx tgx x x sin sin(sin ) cos(sin ) sin(sin ) [sin( )cos(sin ) sin(sin )cos( )]/[cos( )cos(sin )] lim 0 − − + − = → tgx x x x x tgx x tgx x x sin sin(sin ) cos(sin ) sin(sin ) cos( ) cos(sin ) sin( sin ) lim 0 − + − − = → + − − = → cos( ) cos(sin ) 1 sin sin( sin ) lim 0 tgx x tgx x tgx x x x x x x x x x sin cos sin 1 cos(sin ) cos(sin ) sin(sin ) lim 0 − − → = 11+ x x x x x x x x x x x cos(sin ) 1 cos sin cos sin 1 cos(sin ) cos(sin ) sin(sin ) lim 2 2 2 2 0 − − → 1 2 1/ 2 1/ 2 = 1+1 = 6、 ) 1 1 lim ( 1 m n x x n x m − − → − （ + n,m Z ） 解 原式= 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) lim (1 )(1 )(1 ) n m m n x m x x n x x x x x x x − − → − − + + + − + + + − + + + + + +