广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.3 补充例题

73信针量的评选标准补充例题

补充例题

7.3估针量的评选标准补充1对于均值μ，方差。20都存在的总体，若1(X; -X)μ,2均为未知,则的估计量=ni-l是有偏的(即不是无偏估计)证 ?=-x, -X= A, -X2,ni=l因为 E(A,) = μ,= α2 + μ2,T又因为 E(X")= D(X)+[E(X)}"= + μ,n所以 E(6)= E(A -X) =E(A)- E(X2)K

证 , 2 = A2 − X 2 2 因为 E(A ) =  , 2 2 =  +  2 2 又因为 E(X ) = D(X) + [E(X)] , 2 2   = + n ( ) ( ) 2 = E A2 − E X 是有偏的(即不是无偏估计). = = − n i Xi X n 1 2 1 2 2  ˆ ( ˆ ) ( ) 2 2 2 所以 E  = E A − X 对于均值 , 0 , 方 差 2  都存在的总体 若 , ,   2 均为未知 = = − n i Xi X n 1 2 2 2 ( ) 1 则 的估计量 ˆ 补充1

73信针量的评选标准n-1。22, 所以2 是有偏的nn若以乘2，所得到的估计量就是无偏的n-1（这种方法称为无偏化）E(62) =E1,Z(X, -X),因为n-1n-i=l即S是。2的无偏估计，故通常取S作。的估计量

, 1 2 2    − = n n (这种方法称为无偏化). ( ), 1 1 1 2 = − − = n i Xi X n , 即 S 2是 2 的无偏估计 . 故通常取S 2作 2的估计量 ˆ . 所以 2 是有偏的 ˆ , 1 2 若以 乘 n − n       − 2 ˆ 1  n n E 2 2 ˆ 1 S n n = − 因为  所得到的估计量就是无偏的. ( ˆ ) 1 2 E  n n − = . 2 = 

7.3估针量的评选标准补充2设总体X在[0,0上服从均匀分布，参数9>0.X,XX，是来自总体X的样本，试证明2X和n+1max(X,X2,,X,）都是e的无偏估计n0证 因为 E(2X)=2E(X)=2E(X)=2×=0,2所以2X是0的无偏估计量因为X,=max(X,X2,,X,)的概率密度为nxn-0≤x≤0anf(x)=其他[0,K

max( , , , ) . 1 X1 X2 Xn 都 是的无偏估计 n n  + 证 因为 E(2X) = 2E(X) = 2E(X) , 2 2   =  = 所 以2X 是 的无偏估计量. 因 为Xh = max(X1 , X2 ,  , Xn )的概率密度为        = − 0, 其 他 , 0 ( ) 1   x nx f x n n 设总体X 在[0,]上服从均匀分布 ,参数  0, X1 , X2 ,  , Xn 是来自总体X的样本，试证明2X 和 补充2

73信针量的评选标准hrn-1所以 E(X,)=dxXnn0n+1n+故有EXn=0,Yn+1故max(Xi,X2,…,X,)也是0的无偏估计量n结论：一个参数可以有不同的无偏估计量

dx nx E X x n n h  =  0  -1 所 以 ( ) , 1  + = n n , 1  =       + Xh n n 故有 E max( , , , ) . 1 故 X1 X2 Xn 也 是的无偏估计量 n n  + 结论： 一个参数可以有不同的无偏估计量