浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义，第三版）第十三讲 数学期望

第十三讲数学期望 重点:数学期望的定义与计算 难点:函数的数学期望 一、数学期望的定义 1.离散型RV的数学期望 引例:掷一枚骰子,掷出第i面得i分,某人掷了n次,求其所得的平均分。 定义1.设离散型R的分布律P{X=xn}=pnn=1,2,… 若级数∑Pnxn绝对收敛,则称∑Pxn为RX的数字期望或平均值(简称期望或均值,记作E( 或EX,即E(X)=∑pnxn,当∑pnxn发散时,称RX的数学期望不存在。 注:1)数学期望实际上是对x1x2…xm,…的加权平均, 2)只有∑Pnx绝对收敛,E(X才存在 例1.设RVX服从(0-1)分布,求E(1)。 解:RFX的分布率为P{X=l}=p(1-p),=0,1 E(X)=0·(1-p)+1·p=p 例2设X~P(),求E() 解:Px=b=? k=01.2 E(1)=∑k. de de kI (k-1) 石(k-1)

第十三讲 数学期望 重点：数学期望的定义与计算 难点：函数的数学期望 一、数学期望的定义 1.离散型 R.V.的数学期望 引例：掷一枚骰子，掷出第 i 面得 i 分，某人掷了 n 次，求其所得的平均分。 定义 1.设离散型 R.V.的分布律 P{X=xn}=pn n=1,2,… 若级数   n=1 n n p x 绝对收敛，则称   n=1 n n p x 为 R.V.X 的数字期望或平均值（简称期望或均值），记作 E(X) 或 EX，即   = = 1 ( ) n n n E X p x ，当   n=1 n n p x 发散时，称 R.V.X 的数学期望不存在。 注：1）数学期望实际上是对 x1,x2,…,xn,…的加权平均， ）只有 p x 绝对收敛，E（X）才存在。 n  n n  =1 2 例 1.设 R.V.X 服从（0-1）分布，求 E(X)。 解： R.V.X 的分布率为   (1 ) , 0,1 1 = = − = − P X i p p i i i E(X ) = 0 (1− p) +1 p = p 例 2.设 X ~P(λ)，求 E(X)   , 0,1,2, ! = = = − k k e P X k k   解：            =  = − = − =  = −  =  = − −  − = −    e e k e k e k e E X k k k k k k k 1 1 1 0 ! ( 1)! ( 1)! ( )

连续型R的数学期望 定义2.设连续型RIX的分布密度为,若x(x绝对收敛,则称」x(x为x的数学 期望。记作EC,即E(X)=(x当[1(x发散时,x的数学期望不存在 例3设Xm(4),求E()。 x>0 解:f(x)= x≤0 E(X)3(xM=x2=!M=(2)= 例4.设X-N(H,O2),求E()。 解:f(x)= E()= xf(dx=x y。6 dx (x-+) a dxt √2rσ 随机变量函数的数学期望 定理1设y=g(x)是连续函数,X为一RV,Y=g(X (1)X是离散型RV,其分布律为P{X=x}=p=1,2, 若∑pg(x跑对收敛,则E(Y)=E(X=∑pg(x,) (2)X是连续型RV,其密度函数为fx)

2.连续型 R.V.的数学期望 定义 2.设连续型 R.V.X 的分布密度为 f(x)，若 xf x dx  + − ( ) 绝对收敛，则称 xf x dx  + − ( ) 为 X 的数学 期望。记作 E(X)，即 E X xf x dx  + − ( ) = ( ) . 当 x f x dx  + − ( ) 发散时，X 的数学期望不存在。 例 3.设 X~π(λ)，求 E(X)。 0 0 0 ( )      = − x e x f x x  解：E(X ) =      1 (2) 1 1 ( ) 0 0 =  = =  =    + − + − + − x f x dx x e dx t e dt x t 例 4.设 X~N(μ,σ2 )，求 E(X)。 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    − − = x 解：f x e E(X ) = xf x dx x e dx x   + − − + − − =  2 2 2 ( ) 2 1 ( )    x e dx x  + − − − = − + 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1       = − +  + − − − x e dx x 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1      e dx x  + − − − 2 2 2 ( ) 2 1     =  二、随机变量函数的数学期望 定理 1.设 y =g(x)是连续函数，X 为一 R.V.，Y =g(X) （1）X 是离散型 R.V.，其分布律为 P{X=xi}=pi i=1,2,…    =  = = = 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) n n n n n n 若 p g x 绝对收敛，则 E Y E g X p g x （2）X 是连续型 R.V.，其密度函数为 f(x)

若8(对)(x绝对收敛,则E()=g(X=8(x)(x 推广:对于二维R(x,) (1)若(XY)为离散型RV,其分布率为P{X=x,y=y}=p,i=1,2,…,g(xy)为二元连续函数 若∑∑g(x,y)n绝对收敛,则Eg(X,1=∑∑g(x,y)P (2)若(XY为连续型RV,其分布密度为fxy),g(xy)为二元连续函数 若8(xy)(xy)h绝对收敛,则Eg(x,)=g(xy)/(x,y)d 例5.设X的分布律为 -20 P 求E(-X+1),E(X3+ 例6.设RVX服从(0,丌)上的均匀分布,Y=smX,求E(Y 解:f(x)={z 0<x<丌 E(Y)=E(sin X)= sin f(x)dx=dr=2 例7设R(XY)的密度函数为 f(x,1)=x+y0≤xs10≤y≤1 others 求E(X) W: E(XY)=xvf(x, y)dxdy=xyx+y)drdy 、数学期望的性质

  + − + − 若 g(x) f (x)dx 绝对收敛，则 E(Y) = E[g(X)] = g(x) f (x)dx 推广：对于二维 R.V.(X,Y) （1）若(X,Y)为离散型 R.V.，其分布率为 P{X=xi,Y=yj}= pij，i,j=1,2,…,g(x,y)为二元连续函数，    =  =  =  = = 1 1 1 1 ( , ) [ ( , )] ( , ) i j i j i j i j 若 g xi y j pi j 绝对收敛，则 E g X Y g x y p （2）若(X,Y)为连续型 R.V.，其分布密度为 f(x,y)，g(x,y)为二元连续函数     + − + − + − + − 若 g(x, y) f (x, y)dxdy 绝对收敛，则 E[g(X,Y)] = g(x, y) f (x, y)dxdy 例 5.设 X 的分布律为 X − 2 0 1 3 p 3 1 2 1 12 1 12 1 ( 1), ( 5) 3 求 E −X + E X + 例 6.设 R.V.X 服从(0,π)上的均匀分布，Y=sinX，求 E(Y) others x f x          = 0 0 1 解： ( )    sin 2 ( ) (sin ) sin ( ) 0 = = = =   + − dx x E Y E X x f x dx 例 7.设 R.V.(X,Y)的密度函数为 others x y x y f x y 0 1,0 1 0 ( , )        + = 求 E(XY)。 3 1 ( ) ( , ) ( ) 1 0 1 0 = = + =     + − + − 解： E XY xyf x y dxdy x y x y dxdy 三、数学期望的性质

性质1.E(C=C 性质2.E(H+C}=E(X)+C 性质3.E(k)=kE(X) 性质4.E(H+Y)=E(X)+E(Y 证明:设(XY)为连续型RV,其密度函数为f(xy),则 E(X+r)=L(+D)f(x, ydrdy=Dxf(x, y)drdy+yf(x,y)drdy Cx(x)ax+y(dy=E(X)+E(r) 推论1.BX1+X2+…+Xn)=RX1)风X2)+…+RXn) 推论2.Ba+b=aE()+bE(Y),其中ab为常数 性质5若XY独立,则RXY=ECE(Y 证明:设(XY)为连续型RV,其密度函数为(xy),则由于X,Y独立f(xy)=f(x)f()于是 E(X)=(xy)h=xy(x)(kh=x(x)y()h=E(X)E() 推论:若ⅪX2…M相互独立,则BX1Y…X)=RX1)R2)…Bn) 例8.设Ⅺ互…V相互独立且服从0-1分布,则由再生性,Ⅺ1+X2+…+M服从二项分布,求该 二项分布的期望。 解:设X的分布率为 x|10 1-p 则X+X2+…+Xm~B(nP),由于ECA)=B1,2,…,n,所以E(X1+x2+…+Xn)=np 例9.设一电路中电流I(安)与电阻R(欧)是两个相互独立的R.V,其概率密度分别为 8()=2i0≤i≤1 0 other h(r)={9 0≤r≤3 求电压V=R均值。 解E)=CB=B(D8)(Qm()b=,2.,.b=

性质 1. E(C)= C 性质 2. E(X+C)= E(X)+C 性质 3. E(kX)= kE(X) 性质 4. E(X+Y)= E(X)+ E(Y) 证明：设(X,Y)为连续型 R.V.，其密度函数为 f(x,y)，则       + − + − + − + − + − + − E(X +Y) = (x + y) f (x, y)dxdy = x f(x, y)dxdy + yf (x, y)dxdy   + − + − = xf (x)dx + yf (y)dy = E(X) + E(Y) X Y 推论 1. E(X1+X2+…+Xn) =E(X1)+E(X2)+…+E(Xn) 推论 2. E(aX+bY)=aE (X)+bE(Y)，其中 a,b 为常数 性质 5.若 X,Y 独立，则 E(XY)=E (X)E(Y) 证明：设(X,Y)为连续型 R.V.，其密度函数为 f(x,y)，则由于 X,Y 独立 f(x,y)= fX(x) fY(y)于是 E(XY) xyf(x, y)dxdy xyf (x) f (y)dxdy x f(x)dx yf (y)dy E(X)E(Y) = = X Y = Y =       + − + − + − + − + − + − 推论：若 X1,X2,…,Xn 相互独立，则 E(X1X2…Xn) =E(X1)E(X2)…E(Xn) 例 8.设 X1,X2,…,Xn 相互独立且服从 0−1 分布，则由再生性，X1+X2+…+Xn 服从二项分布，求该 二项分布的期望。 解：设 Xi 的分布率为 Xi 1 0 p p 1− p 则 X1+X2+…+Xn~B(n,p)，由于 E(Xi)=p, i=1,2,…,n，所以 E(X1+X2+…+Xn)= np 例 9.设一电路中电流 I（安）与电阻 R（欧）是两个相互独立的 R.V.，其概率密度分别为      = others i i g i 0 2 0 1 ( )       = others r r h r 0 0 3 9 ( ) 2 求电压 V=IR 均值。 2 3 9 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ][ ( ) 2 3 0 2 1 0 = = = =    =     + − + − dr r 解：E V E IR E I E R ig i di rh r dr i idi r