半群中元素的界 口由于半群V=<S,°中的运算是可结合的,可以定义元素的 幂,对任意x∈S,规定: xI=x xn+=xn°x, n∈Z+ 用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则: xn°xm=xnm X m,n∈Z+ 口普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个 幂运算规则
半群中元素的幂 ❑ 由于半群V＝<S,>中的运算是可结合的,可以定义元素的 幂,对任意x∈S,规定： x 1＝x x n+1＝x n x, n∈Z+ 用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则： x n x m＝x n+m (xn) m＝x nm m,n∈Z+ ❑ 普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个 幂运算规则
独异点中的 独异点是特殊的半群,可以把半群的幂运算推广到独异点 中去。 由于独异点V中含有单位元e,对于任意的x∈S,可以定义x 的零次幂,即 xn+1=xn°x n∈N 不难证明,独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则,只不 过m和n不一定限于正整数,只要是自然数就成立
独异点中的幂 独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点 中去。 由于独异点V中含有单位元e，对于任意的x∈S,可以定义x 的零次幂,即 x 0＝e x n+1＝x n x n∈N 不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不 过m和n不一定限于正整数，只要是自然数就成立
子半群与子独异点 口半群的子代数叫做子半群。 口独异点的子代数叫做子独异点。 口根据子代数的定义不难看出: 如果V=<S,°是半群,TS,要T对V中的运算°封闭,那 么<T,°就是V的子半群。 对独异点V=<S,9,e来说,TgS,不仅T要对V中的运算° 封闭,而且e∈T,这时<T,°,e>才构成V的子独异点
子半群与子独异点 ❑ 半群的子代数叫做子半群。 ❑ 独异点的子代数叫做子独异点。 ❑ 根据子代数的定义不难看出： –如果V＝<S,>是半群,TS，要T对V中的运算封闭，那 么<T,>就是V的子半群。 –对独异点V＝<S,,e>来说，TS，不仅T要对V中的运算 封闭,而且e∈T，这时<T,,e>才构成V的子独异点
°例11。2 例112设半群Vv1=<S,·,独异点V2=<S,·,e>。 其中 a0 a,d∈R ●为矩阵乘法,e为2阶单位矩阵 a∈R 00 则TcS,且T对矩阵乘法·是封闭的, 所以<T·是v1=<,·>的子半群。 易见在<T●>中存在着自己的单位元 00 所以(7·,(10》也构成一个独异点 00 但它不是V2=<S,·,e>的子独异点,因为v2中的单位元 e=\0
例11.2 例11.2 设半群V1 ＝<S,•>，独异点V2 ＝<S,•,e>。 其中 = a ,d R 0 d a 0 S 0 1 1 0 = a R 0 0 a 0 T •为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵 令 则T S，且T对矩阵乘法•是封闭的， 所以<T,•>是V1 ＝<S,•>的子半群。 但它不是V2=<S,•,e>的子独异点，因为V2中的单位元 e= T 。 0 1 1 0 0 0 1 0 易见在<T, •>中存在着自己的单位元 ， 0 0 所以 1 0 <T, • , >也构成一个独异点
半群与独异点的直积 定义1.2设V1=<S1,°,V2=<S2,*是半群(或独异点), 令S=S1×S,定义S上的运算如下: V<a,b>,<c,d>∈S, a,b>·<c,d=<a°c,b*d 称<S,∽为V1和V2的直积,记作V1×V2 可以证明V1×V2是半群。 若V1和V2是独异点,其单位元分别为e1和e2,则<e1,e2>是 V1×V2中的单位元,因此V1×V2也是独异点
半群与独异点的直积 定义11.2 设V1 ＝<S1 , >，V2 ＝<S2 ,*>是半群(或独异点), 令S＝S1×S2 ,定义S上的·运算如下： <a,b>,<c,d>∈S, <a,b>•<c,d>＝<ac,b*d> 称<S,•>为V1和V2的直积，记作V1×V2。 可以证明V1×V2是半群。 若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则<e1 ,e2 >是 V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点