作乘积f(5Ax(=1,2,…)并作和S=∑f()Ax; i=1 记=max△r,△x2,…,△xn},如果不论对a 怎样的分法,也不论在小区间x1,x:l上点怎样 的取法,只要当λ→0时,和S总趋于确定的极限I, 工工工 我们称这个极限Ⅰ为函数f(x)在区间a,b上的定积分, 记为 b f(x)x=I=lim∑f(5)△ ->0 上页
怎样的分法， = = b a f (x)dx I i i n i f x = → lim ( ) 1 0 . 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 的取法，只要当 → 0时，和S总趋于确定的极限I ， 在区间[a,b]上的定积分， 记为 记 max{ , , , } 1 2 n = x x x ，如果不论对[a,b] 我们称这个极限I 为函数 f (x) 作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 点 i怎样 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1
3、存在定理 可积的两个充分条件: 定理1当函数f(x)在区间4a,b上连续时, 称f(x)在区间[a,b上可积 工工工 定理2设函数f(x)在区间a,b上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在区间 a,bl上可积 上页
可积的两个充分条件： 定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则f (x) 在区间 [a,b]上可积. 3、存在定理
4、定积分的性质 性质11f(x)±g(x)x=Jf(x)cbd(x)1 b b 性质2k(x)d=f(x)dxk为常数) 工工工 性质3假设a<C<b Cf(x)dx=L S()dx+f(x)dc 上页
4、定积分的性质 b a [ f ( x) g( x)]dx = b a f ( x)dx b a 性质1 g(x)dx = b a b a 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数) b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx 性质3 假设a c b
b 性质41dc=dc=b-a 性质5如果在区间{a,bl上f(x)≥0, 则f(x)x≥0(a<b) 推论:(1)如果在区间a,b上∫(x)≤g(x), 则f(xMsg(x(a<b) b (2)f(xxx(s,f(x)dx (<b) 上页
则 ( ) 0 f x dx b a (a b) 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x) 0， 推论： 则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) (a b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x) g(x)， f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) （2） (a b) dx b a 1 dx b a 性质4 = = b − a
性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b 上的最大值及最小值, 尽则m0-0(sM(b 王性质7(定积分中值定理) 庄如果函数/(x)在闭区间1,b上连续, 则在积分区间[a,b上至少存在一个鳶, 使厂(x)x=f(b-a)(a≤5≤b) C积分中值公式 上页 圆
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) (a b) 性质7 (定积分中值定理) 设M 及m分别是函数 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − . 性质6 f (x) 在区间[a,b] 上的最大值及最小值， 积分中值公式