§5无穷小量与无穷大量 无穷小量 与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义 定义1设在某()内有定义.若/()=0 ,则称为当→列时 的无穷小量 若函数吕在某(x)内有界,则称g为当不→列时的有界量 类似地定义当x→列,x→列,x→+,x→0以及x→0时的无穷 小量与有界量 例如,x2,nx与1-c0sx都是当x→0时的无穷小量, 是 当x→1时的无穷小量, 而 为当x 时的无穷小量.又如x是当x→∞时的有界量 x是当x→0时的有界 量.特别,任何无穷小量也必都是有界量 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质: 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量 例如,当x→0时,x2是无穷小量,x是有界量,故有性质2即得 0 clf,x=-0.1:1/500:0.1
1 §5 无穷小量与无穷大量 一 无穷小量 与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义. 定义 1 设 在某 内有定义．若 ，则称 为当 时 的无穷小量． 若函数 在某 内有界，则称 为当 时的有界量． 类似地定义当 ， ， ， 以及 时的无穷 小量与有界量． 例如， ， 与 都是当 时的无穷小量， 是 当 时的无穷小量， 而 ， 为当 时的无穷小量．又如 是当 时的有界量， 是当 时的有界 量．特别，任何无穷小量也必都是有界量． 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质： 1. 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量． 2. 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量． 例如，当 时， 是无穷小量， 是有界量，故有性质 2 即得 ． clf, x=-0.1:1/500:0.1;
y=x.2.*sin(1./x) y1=x. 2: y2=-x. 2: plot(x, y, x, y1, x, y2) 3.1-0.060.05“004-002 0,COa0.00,8o.1 函数”一1x的图象如上图所示 由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论 lim f(x)=A ef(x)-A是当x→列时的无穷小量 二无穷小量阶的比较 无穷小量是以0为极限的函数,而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有 慢.为此我们考察两个无穷小 量的比,以便对它们的收敛速度作出判断 设当x→时,J与尽均为无穷小量 1.若 则称当x→列时为的高阶无穷小量,为的低阶无 穷小量,记作 =0
2 y=x.^2.*sin(1./x); y1=x.^2; y2=-x.^2;plot(x,y,x,y1,x,y2) 函数 的图象如上图所示． 由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论： 是当 时的无穷小量． 二 无穷小量阶的比较 无穷小量是以 0 为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于 0 的速度有快有 慢．为此我们考察两个无穷小 量的比，以便对它们的收敛速度作出判断． 设当 时， 与 均为无穷小量． 1．若 ，则称当 时 为 的高阶无穷小量， 为的低阶无 穷小量，记作 （ ）．
特别,J为当x→和时的无穷小量记作 f(x)=o()(x→ 例如,当x→0时,x,x2…,x(为正整数)等都是无穷小量,因而有 o((x→0),k 而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量,即有 Cosx lim tan 又如,由于x0sinx=x02=0.故有 1-c。x=(mx)(x→0) K≤ L 2.若存在正数K和L,使得在某(x)上有 lim f(a) 则称与尽为当不→列时的同阶无穷小量,特别当”8()=c≠0 时,J与尽必 为同阶无穷小量 lim - cos x 1 例如,当x→0时,1-c08x与x皆是无穷小量.由于x0x2=2 所以1-c0sx与x为当x→0时的同阶无穷小量.又如,当x→0时 都是无穷小量,由于它们之比的绝对值满足 1≤2+ ,所以x与 x为当x→0时的同阶无穷小量 若无穷小量与满足关系式(6S x∈U0(x)
3 特别， 为当 时的无穷小量记作 （ ）． 例如，当 时， ， ， （ 为正整数）等都是无穷小量，因而有 （ ）， ， 而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量，即有 （ ）． 又如，由于 ＝ ＝ ．故有 （ ）． 2．若存在正数 和 ，使得在某 上有 ， 则称 与 为当 时的同阶无穷小量．特别当 时， 与 必 为同阶无穷小量． 例如，当 时， 与 皆是无穷小量．由于 ＝ ， 所以 与 为当 时的同阶无穷小量．又如，当 时， 与 都是无穷小量，由于它们之比的绝对值满足 ，所以 与 为当 时的同阶无穷小量． 若无穷小量 与 满足关系式 ，
则记作(x)=0(g(x)(x→) 特别,若f在某列(n)内有界,则记为f(x)=0)(x→列) 例如 1-cosx x→0 2+sin -=o() (x→0); sx=o()(x→>) 甚至当f(x)=o(x)(x→)时,也有f(x)=O(g()(x→) 注:本段中的等式f(x)=o(g(x)(x→)与f()=0(g(x)(x→而) 等,与通常等式的含义是不同的.这里等式左边是一个函数,右边是一个函数类, 而中间的等号的含义是“属于”,例如,前面已经提到 1-csx=o(nx)(x→0 (1) (x)=0} fo 其中 sin x 等式(1)表示函数1-c0sx属于此函数类 (x 3.若g(x),则称与吕为当x→x0时的等价无穷小量.记 作 f(x)-g(x) lin 例如,由于 故有simx~x(x→0 arctan x 又由于2-0x(上节习题1(6)),故有 arctan(x→0)
4 则记作 （ ）． 特别，若 在某 内有界，则记为 （ ）． 例如 （ ）； （ ）； （ ）． 甚至当 （ ）时，也有 （ ）． 注： 本段中的等式 （ ）与 （ ） 等，与通常等式的含义是不同的．这里等式左边是一个函数，右边是一个函数类， 而中间的等号的含义是“属于”．例如，前面已经提到 （ ） （1） 其中 ， 等式（1）表示函数 属于此函数类． 3．若 ，则称 与 为当 时的等价无穷小量．记 作 （ ）． 例如，由于 ，故有 （ ）． 又由于 （上节习题１（6）），故有 （ ）．
以上讨论了无穷小量阶的比较.但应指出,并不是任何两个无穷小量都可以 进行这种阶的比较.例如, 当x→0时 x和x都是无穷小量,但它们的比 sin 当x→0时都不是有界量,所以这两个无穷小量不能进行阶的比较 下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用 定理3.12设函数f,g,h在U(n)内有定义,且有f(x)~g(x) lim f(v(x)=A lim g(xa(x)=A (i)若x→ 则 =B = (ⅱi)若 g()(x)=()m/(x(x)=1A=A (i)可类似的证明. arctan x 例1求 解由于 arctan x~x(x→0),sn4x~4x(x→0),故有定理3.12 arctan x-o S1n4x *40 4x 例2利用定价无穷小量代换求极限
5 以上讨论了无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以 进行这种阶的比较．例如， 当 时， 和 都是无穷小量，但它们的比 = 或 = 当 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较． 下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用． 定理 3.12 设函数 ， ， 在 内有定义，且有 （ ）． (ⅰ) 若 ，则 (ⅱ) 若 ，则 证 (ⅰ) (ⅱ)可类似的证明. 例 1 求 解 由于 （ ）, （ ）, 故有定理 3.12 得 . 例 2 利用定价无穷小量代换求极限