第五章把待求的值函数用分离变量法表示出来，d(x, y,z)= f(x)·g(y)· h(2)并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程）分解出三个常微分方程；分别写出其通解。R用给定边界条件以及通解中正交函数的正交性确定通解中的待定常数。 "→ 特解 。2025/6/11电磁场理论
电磁场理论 2025/6/11 第五章 6 把待求的位函数用分离变量法表示出来； 并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程）， 分解出三个常微分方程；分别写出其通解。 (x, y,z) = f (x) g( y)h(z) 用给定边界条件以及通解中正交函数的正交 性确定通解中的待定常数。 特解
第五章二、直角坐标系中的分离变量法：1、位函数Φ白的拉氏方程：aaa?dV0=0:0(5-2-1)Qz?ax2 + ay2 +2、分离变量：令d(x, y,z)= f(x)·g(y) ·h(2)(5-2-2)将（5-2-2）代入（5-2-1）,并整理得：.1 d'g1 d?h1 d'f:0(5-2-3)h dz?f dx?g dy?V2025/6/11电磁场理论
电磁场理论 2025/6/11 第五章 7 二、直角坐标系中的分离变量法： 0 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + = x y z (５-２-１) ２、分离变量： 令 (x, y,z) = f (x) g( y)h(z) (５-２-２) 将 (５-２-２) 代入 (５-２-１) ,并整理得: 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + + = dz d h dy h d g dx g d f f (５-２-３) １、位函数 的拉氏方程：
第五章3、三个常微分方程：1 d2f-k.?(5-2-4)f dx?1 d'g=-k.2(5-2-5)g dy?1 d?h(5-2-6)-h 2h dz?(5-2-7)由(5-2-3）得：k2+k,2+k2=0kx,k,,k，称为分离常数。2025/6/11电磁场理论
电磁场理论 2025/6/11 第五章 8 ３、三个常微分方程： 2 2 2 1 x k dx d f f = − 2 2 2 1 y k dy d g g = − 2 2 2 1 z k dz d h h = − (５-２-４) (５-２-５) (５-２-６) (５-２-７) 由 (５-２-３) 得： 0 2 2 2 kx + ky + kz = x y z k , k , k 称为分离常数
第五章讨论（5-2-4）1d2f4、通解：-k. 2Af dx?k2>0,为实数；k.f(x)= A' sin k,x+ A, cosk,x (5-2-8)则30A’A’为待定系数。k,=ja,,a为实数；<0,则f(x) = B'sha,x + B'cha,x(5-2-9)-a.x(5-2-1 0)或f(x)= B'ea** + B'e1 32025/6/11电磁场理论
电磁场理论 2025/6/11 第五章 9 ４、通解： 讨论 (５-２-４) 2 2 2 1 x k dx d f f = − 则 f x A k x A k x x x ( ) sin cos 1 2 = + A2 A 1 为待定系数。 2 x k >０， x k 为实数； 2 x k <０， x x x k = ja , a 为实数； 则 f x B sha x B cha x 1 x 2 x ( ) = + 或 a x a x x x f x B e B e − = + 1 2 ( ) (５-２-８) (５-２-９) (５-２-１０) １３ 30
第五章1 d’f=-k?kx=0f dx?f(x) = Cx+C)(5-2-1 1)则同理，g(y),h(2)的通解亦可根据k,,k，的取值不同，从而得到类似f(x）的通解。故Φ(x, y,z)= f(x)·g(y)·h(z)5、由给定边界条件确定待定系数一→特解。2025/6/1110电磁场理论
电磁场理论 2025/6/11 第五章 10 kx = 0 则 1 2 f (x) =C x +C (５-２-１１) 同理， 的通解亦可根据 的取值不同， 从而得到类似 的通解。 g( y), h(z) y z k , k f (x) 故 (x, y,z) = f (x) g( y)h(z) ５、由给定边界条件确定待定系数 特解。 １３ 2 2 2 1 x k dx d f f = −