《数值计算》课程教学课件（讲稿）第9章 矩阵特征值问题的数值解法

6、若2是A的特征值,则2是A的特征值aa是aA的特征值（a为任意实数，k为自然数），f(a）是f(A)的特征值,其中f(a)=a,+aa+...+amamf(A)= a,E+a,A+...+amAm7、假定,2,,a,是n阶矩阵A=(ai)的n个特征值，则 + +..+ A, = ai +a22 +...+amma,a,=A上页下页返回

上页 下页 返回 6、若  是A的特征值, m m m m f A a E a A a A f a a a           0 1 0 1 ( ) ()   , 7、假定 1 ,2 ,  , n 是n阶矩阵 A  (ai j ) 的n个特征值, 则 1  2  n  a11  a22  ann 1 2  n  A k  k 则 是 A 的特征值, a 是 aA 的特征值(a为任意实数,k为自然数), f () 是 f (A) 的特征值,其中

8、相似矩阵设A.B是n阶方阵，若存在满秩矩阵P使P-1 AP= B则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似，P称为相似变换矩阵9、相似矩阵有相同的特征多项式，因此有相同的特征值10、相似的充要条件n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量11、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的每个k重特征值入对应有k个线性无关的特征向上页量（即矩阵aE-A的秩为n-k）下页返圆

上页 下页 返回 设A,B是n阶方阵，若存在满秩矩阵P,使 则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似，P称 为相似变换矩阵. 8、相似矩阵 P AP  B 1 9、相似矩阵有相同的特征多项式,因此有相同的特征值. 10、相似的充要条件 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量. 11、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 A的每个k重特征值λ对应有k个线性无关的特征向 量(即矩阵 E  A 的秩为 n  k )

12、实对称矩阵的特征值为实数13、任意实对称矩阵A与对角矩阵相似14、设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵T使得222T-IAT=Z其中,2，是A的特征值上页下页返回

上页 下页 返回 12、实对称矩阵的特征值为实数. 13、任意实对称矩阵A与对角矩阵相似. 14、 设A为实对称矩阵,则存在正交矩阵T,使得                 n T AT     2 1 1 其中 1 ,2 ,  ,n 是A的特征值

求特征值的方法有两种一种方法是直接法，一般对阶数较小的矩阵采用另一种方法是迭代法对阶数较大的矩阵采用上页下页返回

上页 下页 返回 一种方法是直接法， 求特征值的方法有两种 另一种方法是迭代法. 一般对阶数较小的矩阵采用 对阶数较大的矩阵采用

例1求矩阵A的特征值和特征向量解-1AZE-A=-1 =(a-2)(a+1)-1-1 元2, =2,2, = 2, =-1.所以A的特征值为当=2时，解方程组(2E-A)x =0由上页2E-A=下页0返圆

上页 下页 返回 解 2 2 1 1 1 1 1 1 1  (  )(  )              E A 所以A的特征值为 2, 1. 1  2  3   当 1  2 时,解方程组 (2E  A)x  0 .                                 0 0 0 1 2 1 2 1 1 ~ 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2E A 由 例1 求矩阵A的特征值和特征向量,            1 1 0 1 0 1 0 1 1 A