插值问题 ■ (存在难一性定理)设{x为n+1个互不相等的节点 ，Φ=span{po,91,pn}为n+1维线性空间，则插值函数 p(x)存在雅一，当且仅当 Po(xo)2(xo) . 0n(xo） p(x)0(x) . pn(x1) ≠0 p(xn)p,(xn). pn(xn) 7
插值问题 （存在唯一性定理）设 为 个互不相等的节点 ， 为 维线性空间，则插值函数 存在唯一，当且仅当 7 { } 0 n i i x = n +1 0 1 span{ , , , } Φ = ϕϕ ϕ n n +1 ϕ( ) x 00 10 0 01 11 1 0 1 () () () () () () 0 () () () n n n n nn xx x xx x xx x ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ≠
多项式插值的Lagrange:形式 1958 ■ 取Φ=Pn(x)=Sp阳n{1,x,x2,.x”},有 Xo x =Π(x-x)≠0 0sj<i≤n 7 Xn 插值问题的解年在难一 Vandermonde行列式 病态矩阵，不适于直接求解 8
多项式插值的Lagrange形式 取 ，有 插值问题的解存在且唯一 8 2 P ( ) spa n{1, , , }n n Φ= = x xx x ( ) 0 0 1 1 0 1 1 0 1 n n i j jin n n n x x x x x x x x ≤ <≤ = −≠ ∏ Vandermonde行列式 病态矩阵，不适于直接求解
多项式插值的Lagrange形式 如何选取④=Pn(x)=span{1,x,x2,.x”}的另一组基，使 得插值问题便于求解？ ■Lagrange基函数{，(x)oSPn(x)满足 -8=&=0。 9
多项式插值的Lagrange形式 如何选取 的另一组基，使 得插值问题便于求解？ Lagrange基函数 满足 9 2 P ( ) spa n{1, , , }n n Φ= = x xx x 0 { ( )} ( ) n ii n lx x = ⊆ Ρ 1, ( ) , , 0,1, , 0, i j ij i j l x ij n i j δ = == ∀= ≠
多项式插值的Lagrange:形式 958 ■线性插值公式 ,(x)=X-,14(x)=X- X0-X1 X1-X0 L(x)=f(x)(x)+f(x)(x) (x1,乃) 7(x,) →X 10
多项式插值的Lagrange形式 线性插值公式 10 o x y 0 0 (, ) x y 1 1 (, ) x y 1 0 0 1 01 10 ( ) , ( ) xx xx lx lx xx xx − − = = − − 1 0 0 1 1 Lx fxl x fxlx () ( )() ( )() = +
多项式插值的Lagrange:形式 1(误差估计)设L(x)为以(x,f(x),(x,f(x)为插值点 的插值函数，x,x1∈[a,b],x≠x.设f(x)一阶连续可导 ,f(x)在(a,b)上存在，则对任意给定的x∈[a,b],至少 存在一点5x∈(a,b),使得 ()-/()()().6c(o.) 2 11
多项式插值的Lagrange形式 （误差估计）设 为以 为插值点 的插值函数， . 设 一阶连续可导 ， 在 上存在，则对任意给定的 ，至少 存在一点 ，使得 11 1 L x( ) 0 0 11 ( , ( )), ( , ( )) x fx x fx 0 1 0 1 x x ab x x , [ , ], ∈ ≠ f x( ) '' f x( ) (,) a b x ab ∈[,] (,) x ξ ∈ a b '' 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( , ) 2! x x f R x f x L x x x x x ab ξ =− = − − ∈ ξ