复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第三章 复变函数级数 Series of complex variable functions

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaaPhys FDU ∑u(2)绝对且一致收敛。(imas的M判别法) ·连续丝,如果n4()(k=1,2,…)在D内连线,级数∑n()在D内一致收敛,则其和 函数S(-)=∑u()也在D内连续。 ●这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致连续级数可以逐项求极限, 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即,m∑4()=∑ma4(2) ·逐项求积分:设C是区域D内一条分段光滑曲线,如果u1()(k=1,2,…)在C上连 线,则对FC上一致收敛级数∑()可以逐项积分∑4(=∑[4 ·娜项求导数( Weierstrass定理)设u1()(k=1,2,…)在D中单值解析∑u4(=)在D 中一致收敛,则此级数之和f(-)=∑l1(2)是D内的解析函数,f(-)可速项求导 求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。()=∑m(=) [上面这些性质的证明见《数学物理方法》,北大吴崇试,高等教育出版社。] 函数∫(x)在x处连续即lmf(x)=f(x0)可表述为:对任意给定的E>0,总存在 δ>0,当x2-x<6时,使得f(x1)-f(x)<E成立 一致连续:6不依赖于x.例如:f(x)=,x∈(O,1),x=x2-x|=,<E 对任意小的正数δ,A <E,(x1,x2)>6,所以连续,但并非一致连续 Xx 因为当x=A工=△+6时,M= 若△>δ,则连续;若Δ≤δ,则A|≈ △(△+O) 康托尔( Couter)定理:在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 6     k1 k u z 绝对且一致收敛。（Weierstrass 的 M 判别法）  连续性：如果 ( ) 1,2, k u z k （  ） 在 D 内连续，级数     k1 k u z 在 D 内一致收敛，则其和 函数       1 ( ) k k S z u z 也在 D 内连续。  这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限， 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即，          1 1 lim ( ) lim ( ) 0 0 k k z z k k z z u z u z .  逐项求积分：设 C 是区域 D 内一条分段光滑曲线，如果 ( ) 1,2, k u z k （  ） 在 C 上连 续， 则对于 C 上一致收敛级数     k1 k u z 可以逐项积分， 1 1 ( )d ( )d . k k C C k k u z z u z z          逐项求导数（Weierstrass 定理）：设 ( ) 1,2, k u z k （  ） 在 D 中单值解析，     k1 k u z 在 D 中一致收敛，则此级数之和       1 ( ) k k f z u z 是 D 内的解析函数， f (z) 可逐项求导， 求导后的级数在 D 中的任意闭区域中一致收敛。 ( ) ( ) 1 ( ) ( ). m m k k f z u z    [上面这些性质的证明见《数学物理方法》，北大 吴崇试，高等教育出版社。] 函数 f x( ) 在 0 x 处连续即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x   可表述为：对任意给定的   0 ，总存在   0 ，当 2 1 x x   时，使得 2 1 f x f x ( ) ( )    成立。 一致连续： 不依赖于 x . 例如： 1 f x( ) x  ，x(0,1) ， 2 1     x x x  ，  f  . 对任意小的正数  ， 2 1 1 2 1 1 x f x x x x        ， 1 2 ( , ) x x   ，所以连续，但并非一致连续。 因为当 1 2 x x      ,  时， ( ) f        .若   ，则连续; 若   ，则 1   f 1  . 康托尔(Couter)定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 、幂级数( Power series) 1.定义:以幂函数(-b)为一般项的级数f()=∑a1(=-b)称为以b为中 心的幂级数。反之,函数f()在z=b附近的 Taylor级数展开,其系数为 (k=0.1.2.…) 2.幂级数的收敛性: Abe定理:如果级数∑a(=-b)在某点=收敛,则 该级数在圆域-b<=0-b内绝对收敛,而且在 b -b≤r(<a-b)内一致收敛。 证明:因为∑a(=-b)在。点收敛,故一定满足必 要条件,lma1(=0-b)=0 因此存在正数M,使得,a(=0-b)|M(k=012…),于是, n(=-by=n(=0-b 当(24,即-4<-时,几何级数 -收敛故∑a(-b 在圆-b<|=0-b内绝对收敛 而当一r一A时,p(e-ysM by4,而常数项级数 收 敛,故根据 Weierstrass的M判别法,∑a(=-b)在圆-b≤r(r<-b内 一致收敛 推论一:如果级数∑a(=-b)在某点发散,则该级数在圆域 -b>|=0-b外处处发散

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 7 二、 幂级数( Power series) 1．定义：以幂函数   k z  b 为一般项的级数        0 ( ) k k f z ak z b 称为以 b 为中 心的幂级数。反之，函数 f z( ) 在 z b  附近的 Taylor 级数展开，其系数为 0,1,2, k a k （  ）. 2．幂级数的收敛性： Abel 定理：如果级数       k 0 k ak z b 在某点 0 z 收敛，则 该级数在圆域 z  b  z0  b 内绝对收敛，而且在 ( ) z  b  r r  z0 b 内一致收敛。 证明：因为       k 0 k ak z b 在 0 z 点收敛，故一定满足必 要条件， lim  0    0  k k k a z b . 因此存在正数 M，使得， a z b M k k 0   (k  0,1,2, ) ，于是，     k k k k k k z b z b M z b z b a z b a z b          0 0 0 . 当 0 | | 1 z b Z z b     ，即 z  b  z0  b 时，几何级数      k 0 0 k z b z b 收敛，故       k 0 k ak z b 在圆 z  b  z0  b 内绝对收敛。 而当 z b  r  z0 b 时，   k k k k z b r a z b M    0 ，而常数项级数   k0 0  k k z b r 收 敛，故根据 Weierstrass 的 M 判别法，       k 0 k ak z b 在圆 ( ) z  b  r r  z0 b 内 一致收敛。 推论一： 如果级数       k 0 k ak z b 在某点 0 z 发 散 ， 则 该 级 数 在 圆 域 z  b  z0  b 外处处发散

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 当12<1时1=∑=(21外处处发散);当|>1时 1∑1=-∑1(1内处处发散) 推论二:对于幂级数∑a(=-b),必存在一个实数R≥0,使得在圆 -b=R内级数处处收敛,同时在圆-b=R外级数处处发散。 这个圆-b=R称为∑a(-b)的收厦,而半径R称为收敛半径 *收敛半径的求法,虽然有紧接着下面的常规方法,但是见p.ll的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3.幂级数的收敛圆和收敛半径 在讨论幂级数的性质时,首先应当求出收敛圆及其收敛半径 (1)R=man,这是因为,根据 D'Alembert判别法,有 a-by1+-m乙1时级数收敛,因此得 <R=ln (2)R=m一=,这是因为,根据 Cauchy判别法,有 l(-b1-1-ma<1时级数收敛。因此得 -b<r=lim 4.幂级数∑a(=-b)在收敛区域内的性质 在收敛圆内绝对收,在收圆内的任何闭圆域上一致收敛。[ Abel theorem ◆和函数在收圆内解析。因幂级数的每一项都是解析函数,由Abel定理知幂

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 8 当 z 1 时 ， 0 1 1 n n z z      ( 1 z  外处处发散） ; 当 z 1 时 ， 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n z z z z z n n z                ( 1 z  内处处发散）。 推论二：对于幂级数       k 0 k ak z b ，必存在一个实数 R  0 ，使得在圆 z  b  R 内级数处处收敛，同时在圆 z  b  R 外级数处处发散。 * 这个圆 z  b  R 称为       k 0 k ak z b 的收敛圆，而半径 R 称为收敛半径。 ** 收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见 p.11 的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3．幂级数的收敛圆和收敛半径： 在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径： （1） 1 lim    n n n a a R ，这是因为，根据 D’Alembert 判别法，有     lim lim 1 1 1 1           n n n n n n n n a a z b a z b a z b 时级数收敛。因此得 1 lim      n n n a a z b R . （2） n n n a R 1 lim   ，这是因为，根据 Cauchy 判别法，有 lim      lim 1   n n n n n n n a z b z b a 时级数收敛。因此得 n n n a z b R 1 lim     . 4．幂级数       k 0 k ak z b 在收敛区域内的性质：  在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆内的任何闭圆域上一致收敛。[Abel theorem].  和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数，由 Abel 定理知幂

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛,再由 Weierstrass定理知其解析] ◆和函数在收圆内可透项积分、逐项求导任意次。[同上证明] ∫∑a(-byd=-∑∫(-byd=241(-y-(-y a(2-b) ak a4k(x-b)=∑a1(k+1)(二-b) 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可 例:设幂级数∑cn”的收敛半径为R,求下列幂级数的收敛半径。 (1)∑nc=(k为实数):(2)∑(2"-lk an=n cn, R lim =lim R (2)a=(2"-1 R2=lim lim lim y2-)2-)k R 注:幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的,因此, ①逐次求积分和导数任意次; 收敛圆内是解析函数,因而可求收敛半径。(即,p11的第二个菱形) 三、解析函数的 Taylor级数展开( Expand to the Taylor series 前面我们看到,一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数(虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性)。现在,我们要提一个相反的问题 ( inversion problem):如何把一个解析函数表示成幂级数? 1.解析函数的 Taylor级数:(有限远常点附近的级数展开)

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 9 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由 Weierstrass 定理知其解析]  和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明]                               0 1 0 1 0 0 1 d d 0 0 k k k k k z z k k z z k k k z b z b k a a z b z a z b z          0 0 1 1 1 0 d d d d 1 . k k k k k k k k k k k k z b a z b a z z a k z b a k z b                               积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可] 例：设幂级数   n0 n n c z 的收敛半径为 R ，求下列幂级数的收敛半径。 （1）   n0 n n k n c z （ k 为实数）； （2）      0 2 1 n n n n c z . 解： （1） n k n a  n c ，   1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 k k n n n n k n n n n n n n n a n c c c n R R a n c c n c                      . （2） 2 1 ,  n n n a c       2 1 1 1 1 lim lim lim . 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n R R a c c          注：幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的，因此， ① 逐次求积分和导数任意次； ② 收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。（即，p.11 的第二个菱形） 三、解析函数的 Taylor 级数展开(Expand to the Taylor series) 前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性）。现在，我们要提一个相反的问题 （inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？ 1. 解析函数的 Taylor 级数:（有限远常点附近的级数展开）

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU Cauchy-Taylor定理:设函数f()在圆域D:|=-b<R内是解析的,则f(x) 可以在D内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数f(=)=∑a(=-b),其中 ∫(5 d:=/(b) (k=0,12,…),并且这样的展开是唯一的。 证明:我们要证明对任何R1<R(D内任 意一闭区域),所展开的幂级数在闭圆域 Dl:|-b≤R上是绝对且一致收敛的 在R和R之间取一圆C 5-b=R,根据 Cauchy积分公式,有 f∫(=) d 其中z是闭圆域-b≤R内的任一点。 因为 1-Z ∑2(Z}k1) 5-(5-b)-(=-b)5-b1-2-b5-b2(-b 其中F=≤n<1,即级数∑是收敛的。根据wmas的M判别法 RI 级数 是绝对且一致收敛的。那么∑ f(2)也是一致收敛 的[一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数],因此可以 逐项积分,于是 ∫(5) f(5)d 2丌i f()-d(=-b)=∑4(-6) (5-b)

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 10 Cauchy-Taylor 定理： 设函数 f (z) 在圆域 D：z b  R 内是解析的，则 f (z) 可以在 D 内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数        0 ( ) k k f z ak z b ，其中   ( ) 1 1 ( ) ( ) d 0,1,2, 2 ! k k k C f f b a k i k b           （ ） ，并且这样的展开是唯一的。 证明：我们要证明对任何 R1  R （D 内任 意一闭区域），所展开的幂级数在闭圆域 D1： b R1 z   上是绝对且一致收敛的。 在 R1 和 R 之间取一圆 R1 C  ： b R1     ，根据 Cauchy 积分公式，有     1 d ( ) 2 1 ( ) CR z f i f z     ， 其中 z 是闭圆域 b R1 z   内的任一点。 因为 0 1 (| | 1) 1 k k Z Z Z                 0 1 1 1 1 1 , 1 k k z b z b z b b b b z b b                              其中 1 1 1      R R b z b  ，即级数             0 1 1 k k R R 是收敛的。根据 Weierstrass 的 M 判别法， 级数              k 0 k b z b  是绝对且一致收敛的。那么     ( ) 0 1   f b z b k k k             也是一致收敛 的 [一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数]，因此可以 逐项积分，于是           1 1 1 1 0 1 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( )d 2 2 1 ( ) d , 2 R R R k k C C k k k k k k k C f z b f z f i z i b f z b a z b i b                                                       