倒易点阵基记正点阵和倒易点阵的基失分别为a;和bt，则1.i=j(25)ax - b; = 2# 8g,Sj0,itj对于三维的情况2元a2xa3(26)b1=2元a2xa32a1- (a2 x a3)2元a xa1(27)b2=2元a x ai2a2.(a3 x a1)2元ai xa2(28)b3=2元ai xa22a3·(ai xa2)其中，2为正点阵单胞的体积(29)Q=a1-(a2 xa3)= a2(a3 xa1)=a3 -(atxa2)Daa53/69
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 倒易点阵基矢 记正点阵和倒易点阵的基矢分别为 ai 和 bi，则 ai ¨ bj = 2π δij, δij = # 1, i = j 0, i ‰ j (25) 对于三维的情况， b1 = 2π a2 ˆ a3 a1 ¨ (a2 ˆ a3) = 2π Ω a2 ˆ a3 (26) b2 = 2π a3 ˆ a1 a2 ¨ (a3 ˆ a1) = 2π Ω a3 ˆ a1 (27) b3 = 2π a1 ˆ a2 a3 ¨ (a1 ˆ a2) = 2π Ω a1 ˆ a2 (28) 其中，Ω 为正点阵单胞的体积： Ω = a1 ¨ (a2 ˆ a3) = a2 ¨ (a3 ˆ a1) = a3 ¨ (a1 ˆ a2) (29) 中国科学技术大学 2024 年 2 月 26 日 53 / 69
倒易点阵基把正格子和倒格子的基矢写成矩阵的形式:[ai][a1][b1]b12b13Q12a13B=b21b22b23(30)A=a2a21022a23b3][b31b32b33]a3a31032a33根据定义（25），我们显然可以得到如下关系[1010B= 2 (A-1)T10A.BT=2元0(31)-A=2元(B-1)T0110即倒格子基矢矩阵和正格子基失矩阵互为逆矩阵转置乘上2元，或正点阵和倒易点阵是互易密正格子和倒格子的单胞的体积，根据式（29）可以写成矩阵的行列式2*=detB(32)Q=det A:显然，两者之间的关系为2.2* =(2元)3(33)正点阵单胞体积越大，倒格子单胞体积就越小！Daa2024年2月26日54/69
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 倒易点阵基矢 ❀ 把正格子和倒格子的基矢写成矩阵的形式 A = a1 a2 a3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , B = b1 b2 b3 = b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 (30) 根据定义(25)，我们显然可以得到如下关系 A ¨ B T = 2π 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ñ B = 2π (A´1 ) T A = 2π (B´1 ) T (31) 即倒格子基矢矩阵和正格子基矢矩阵互为逆矩阵转置乘上 2π，或正点阵和倒易点阵是互易。 ❀ 正格子和倒格子的单胞的体积，根据式(29)可以写成矩阵的行列式 Ω = det A; Ω˚ = det B (32) 显然，两者之间的关系为 Ω ¨ Ω ˚ = (2π) 3 (33) ☞ 正点阵单胞体积越大，倒格子单胞体积就越小！ 中国科学技术大学 2024 年 2 月 26 日 54 / 69
倒易点阵基矢寓从定义出发证明正点阵和倒易点阵互易：b2 × b324b2×b3C1=2元b1 (b2 × b3)2*2T2元(ag ×al)× (ai xa2)≤ax (bxc)=(a.c)b-(a.b)c:(2元)3[(a3 xa1)·a2]a1-[(a3xai)-ai]a2022*(2元)3(34)22*a1=a1同理可证，c2=a2、c3=a3。Daa2024年2月26日55/69
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 倒易点阵基矢 ❀ 从定义出发证明正点阵和倒易点阵互易： c1 = 2π b2 ˆ b3 b1 ¨ (b2 ˆ b3) = 2π Ω˚ b2 ˆ b3 = 2π Ω˚ ( 2π Ω )2 (a3 ˆ a1) ˆ (a1 ˆ a2) ð a ˆ (b ˆ c) = (a ¨ c)b ´ (a ¨ b)c = (2π) 3 Ω2Ω˚ [(a3 ˆ a1) ¨ a2]a1 ´ [(a3 ˆ a1) ¨ a1]a2 = (2π) 3 ΩΩ˚ a1 = a1 (34) 同理可证，c2 = a2、c3 = a3。 中国科学技术大学 2024 年 2 月 26 日 55 / 69