直接求k算法:上述步骤中有化可控标准形这 步。如果不经过这步,也可直接求k: 1)将k用[kk2…k表示; 2)计算det(d-A-bk)。这个s的多项式的系数包含 了待定的个参数: det(sl -a-bk="+B( k)s+(k)s++Bn(k) 3)将这个特征式与期望特征式比较,令8的同次幂 的系数相等: (S-入(8-2)…(s-A)=s++…+n18+an =detd-A-bk)=s+/(kx+(k)2+…+)
¾ 直接求k算法：上述步骤中有化可控标准形这一 步。如果不经过这步，也可直接求k: 1) 将k用[k1,k2,….,kn] 表示; 2) 计算det(sI−A−bk)。 这个s的多项式的系数包含 了待定的n个参数 ： 1 2 1 2 det( ) ( ) ( ) ( ) I A bk k k k nn n n s ss s − − −− = + + ++ ββ β " 3) 将这个特征式与期望特征式比较，令s 的同次幂 的系数相等: 1 12 1 1 1 2 1 2 ( )( ) ( ) det( ) ( ) ( ) ( ) I A bk k k k − − − − − − − =+ ++ + = −− = + + ++ " " " n n n nn nn n n s s s s as a s a s ss s λλ λ ββ β
有:A(k)=A(h2…h)=互 2(k)=A2(kk2 B、(k)=A2(k2…k1) 得到包含m个未知量的个线性方程,在系统可控的条 件下,由这个方程可唯一地确定出k。有时用这种直 接方法比较方便。 例:书上p265例2系统可控期望的特征值为-1,2,1士 01001「01 00-101 y=[1000 木*2
有： 得到包含n个未知量的n个线性方程，在系统可控的条 件下，由这个方程可唯一地确定出k。有时用这种直 接方法比较方便。 例：书上p265例2,系统可控;期望的特征值为-1,-2,-1±j 1 11 2 1 2 21 2 2 1 2 () ( ) () ( ) () ( ) k k k = = = = = = " " # " n n n n nn kk k a kk k a kk k a β β β β β β [ ] 01 0 0 0 00 10 1 1000 00 0 1 0 00 5 0 2 ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ − = += ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ − x x uy x
有:(s)=(s+1+28+1+)s+1- =84+5s3+102+10s+4 0100 A+M=1、/其中1k2k 000 2k1-2k,5-k2-2k de-A-b)=+(2h4-h3)3+(2h3-k1-55+3k2s+31 比较两式得: ★
有： 43 2 ( ) ( 1)( 2)( 1 )( 1 ) 5 10 10 4 Δ = + + ++ +− =+ + + + s s s s js j ss s s [ ] 1 23 4 1234 12 34 43 2 43 31 2 1 12 3 4 01 0 0 1 00 0 1 2 25 2 det( ) (2 ) (2 5) 3 3 4 10 63 25 33 8 6 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − + == ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − −− −− = + − + −− + + 其中k= 比较两式得： ＝＝ ＝ ＝ k kk k A bk k k k k kk kk sI A bk s k k s k k s k s k kk k k
单输入系统 1)当(A,b)可控时,m个方程是未知量k的线性方 程;上述方程有解,且解唯一。对“任意配置”来 说,有解的充要条件就是系统可控。 2)可控条件对于任意配置极点是充分必要条件,但 对于某一组指定的特征值进行配置时,系统可控 只是充分条件,而不是必要条件。即对某一组特 征值能进行配置,并不要求系统可控。 推论:给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要 条件是给定极点组包含系统的不可控模态。 木*2
2) 可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，但 对于某一组指定的特征值进行配置时，系统可控 只是充分条件，而不是必要条件。即对某一组特 征值能进行配置，并不要求系统可控。 推论：给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要 条件是给定极点组包含系统的不可控模态。 1) 当(A, b)可控时， n个方程是未知量ki 的线性方 程；上述方程有解，且解唯一。对“任意配置”来 说，有解的充要条件就是系统可控。 单输入系统
假设系统是不可控的且已具有可控性分解: x 12\x 引入状态反馈l=kx+r有 12 「A1+bk1A2+b 由b的形式容易看出,引入任何形如v=r+k的状 态反馈,都不会影响矩阵A20即状态反馈不会改变系 统的不可控模态,故仅当欲配置的极点包含A2全 特征值时才是可行的
11 12 1 22 0 0 A A b A x x u ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ u r = kx + [ ] 11 12 11 12 1 1 1 2 22 22 11 1 1 12 2 22 0 0 0 0 0 AA AA b b k kk A A A bk A k A ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ += + ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎡ ⎤ + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 b 由b的形式容易看出，引入任何形如 的状 态反馈，都不会影响矩阵A22。即状态反馈不会改变系 统的不可控模态，故仅当欲配置的极点包含A22的全部 特征值时才是可行的。 u r kx = + 假设系统是不可控的且已具有可控性分解： 引入状态反馈 有