这时状态反馈律可写为 uertkxertkpx=r+kx k=RP1或k=kP 由于 det[sl - (a+bk)=det[sl-(PaP+ pbkP )I detpisl-(a+bkp=det[sl(a+bk) 故A+bk的特征式即是A+bk的特征式,所以 A+bk和A+bk有相同的特征值。 2)设期望的多项式为 3--)(-)=8+2+…++破 其中入、入…,入为期望的极点
这时状态反馈律可写为 2）设期望的多项式为 故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。 A bk + A bk + A bk + A bk + 1 12 1 1 ( )( ) ( ) − − − − =+ ++ + " " − n n n nn s s s s as a s a λλ λ 其中 、 ， ， 为期望的极点。 λλ λ 1 2 " n 1 1 ur xr xr x − − =+ =+ =+ = = k kP k k kP k kP 或 由于 1 1 1 det[ ( )] det[ ( )] det{ [ ( )] } det[ ( )] I A bk I PAP PbkP P I A bk P I A bk − − − −+ = − + = −+ = −+ s s s s
若取k=[an-anan1-an Atk 12=n1…(h2 上式的特征式为: 01S t a t a 故知状态反馈方程具有期望的特征值。前面已 证明:A+bk与A+bk有相同的特征值这说明任意 给定闭环系统的n个极点,均可通过状态反馈设 使A+bk具有给定的n个特征值
若取 k =− − − − [a a a a aaaa nnn n − − 1 1 2 211 " ] 上式的特征式为： 1 1 1 − + ++ + " − n n n n s as a s a 故知状态反馈方程具有期望的特征值。前面已 证明: 有相同的特征值这说明任意 给定闭环系统的 n个极点，均可通过状态反馈设计， 使A+bk具有给定的 n个特征值。 1 21 0 1 1 1 A bk − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −− ⎥ ⎣ ⎦ % aa aa n n " A bk A bk + + 与
必要性:若动态系統经状态反馈可任意配置闭环特 征值,要证明系統是可控。用反证法,若系統(A,b) 不可控,对其选行可控分解后有: A+bk=^12 A,+bk a+b,k 由上式可见,A的特征值不受k的影响,即A+bk 中的一部分特征值不受k的影响,这与可任意配置 A+bk的特征值相矛盾。 证完。 木*2
必要性 ：若动态系统经状态反馈可任意配置闭环特 征值，要证明系统是可控。用反证法，若系统(A,b) 不可控，对其进行可控分解后有： 1 2 1 1 2 4 1 11 2 12 4 0 0 0 A A b A bk k k A A bk A bk A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ += + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 由上式可见， A 4的特征值不受 的影响，即A+bk 中的一部分特征值不受k 的影响，这与可任意配置 A+bk的特征值相矛盾。 证完。 k
≯由充分性证明得到求k阵的算法: 1)计算A的特征式 det(s-A)=8+a18-+…+an-8+an 由所给的m个期望特征值λ,入2…,入,计算期 望的多项式 -AX8-)2)…-入)=8++…+互21S+a 3)求k 木*
¾由充分性证明得到求 k 阵的算法： 1)计算A的特征式 1 1 1 det( ) I A − − = + ++ + " − n n n n s s as a s a 2) 由所给的n 个期望特征值 ，计算期 望的多项式 1 2 ,,, λλ λ " n 1 12 1 1 ( )( ) ( ) − − − − =+ ++ + " " − n n n nn s s s s as a s a λλ λ 3) 求 k [ ] k=− − − − aaa a aaaa nnn n − − 1 1 2 211
4)计算化可控标准形的坐标变换阵P; hA P=hA hA 5)求出反馈增益阵k=kP。 木*2
4) 计算化可控标准形的坐标变换阵P; 5) 求出反馈增益阵 。 k kP = 2 1 h hA P hA hA n − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ #