复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions

≡|.|J(xm) b x[m(x) J(x)J,n (x)du x J(x)Jm(x)dx, 其中第三步用到了分部积分。由于方程本身满足 +(x2-m2)y=0 即xm(x)+xn(x)+(2-m2)J(x)=0=xm+x(m+(x2-m)JmJm=0 所以被积函数 J 如果Jn(xm)=0并且(xZ)=xZ则 1 o)-1,=-1x,e 2 这是∵m=0:J(0)=1,m>0:Jn(0)=0.…mn(0)=0(m=0,1,2, 又∵(m) 故 b「rx xJ(x)Jm(x)dx=5[bJ2(m)] 相似地,在第二类边界条件下Jn(xm)=0(自证) (6)广义 Fourier级数 11

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 11     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 0 2 2 ( ) 0 2 2 2 2 ( ) 0 0 2 2 ( ) 0 J ( ) J ( ) d J ( ) d 1 J ( ) J ( )J' ( )d 2 J ( )J' ( )d , m n m n m n m n a m m m n m n x m m n x x m m m m n x m m m n x x b b b x x x x b x x x x x x x b x x x x x                                                 其中第三步用到了分部积分。由于方程本身满足   2 2 2 x y xy x m y       0, 即   2 2 2 J'' ( ) J' ( ) J ( ) 0 m m m x x x x x m x         2 2 2 2 J'' J' J' J J' 0, m m m m m      x x x m 所以被积函数   ' 2 2 2 2 1 J J' J J' J' . 2 m m m m m x m x       如果 ( ) J ( ) 0, m m n x  并且   1 x Z x Z ' ,          则   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 J J' d J ( ) J' ( ) J' ( ) . 2 2 2 m m m n n n x x x m m m m m m n m n x x m x x x x x          0 RR m 1 ' 1 1 0 : J (0) 1, 0 : J (0) 0, J (0) 0( 0,1,2, ). J J J J' ( )' ( ) 0 J J . m m m m m m m m m m m m m m m m m x x x x x                  这是 又 . 当J 时， 故 ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 0 1 J J' d J ( ) , 2 m n x m m m m n m n x x x x         ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) ( ) 1 0 1 J ( ) J ( )J' ( )d J ( ) . 2 m n x m m m n m m m n m n b x x x x x b x b x                 相似地，在第二类边界条件下 ( ) J' ( ) 0 m m n x  （自证）： 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 J ( ) 1 J ( ). 2 m m m n m n m n m x b x b x                  （6） 广义 Fourier 级数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa(@ Phys. FDU 对于区间0≤p≤b上满足一定条件的任何函数f()[但是有条件:分段光 积分)存,总是可以展开为1-的广义wm级数 f(p)=∑CJ/xm2) 其中 C f(p)Jm xo odo= bJo.(=a y o/(pna(/xia pdp 如果将/展为本征函数(162的广义下级数,当m0时 (p)=∑CJc2 s A(pJa(=m e pdp f(eJm ledp b b m) b b2|1 当m=0时,则为 f(p)=C+∑CJ|i2 其中C_2 b2J0f()dp(源于=0)其实C是下述C的特例并且J(0)=1l 对于第三类齐次边界条件的本征值问题,可以进行类似地讨论(思考题)。 In Qu Mech., P=-inV, E=io 对称性与守恒律:空间平移不变性分动量守恒;空间转动不变性◇角动量 守恒;时间平移不变性φ能量守恒。一般稳态问题,D+1维空间有D个守恒量

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 12 对于区间 0    b 上满足一定条件的任何函数 f ( )  [但是有条件:分段光 滑；积分 0 | ( ) | d b f     存在] ，总是可以展开为 ( ) J ( ) m m n x b        的广义 Fourier 级数： ( ) 1 ( ) J m n m n n f C x b             ， 其中   ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 0 0 ( ) 1 1 2 ( )J d ( )J d J J b b m m n m n m n m m m n m n C f x f x b b b x x b                                 . 如果将 f ( )  展为本征函数族 ( ) J ( ) m m n x b        的广义 Fourier 级数，当 m  0 时 ( ) 1 ( ) J m n m n n f C x b             ，   ( ) ( ) 2 2 0 0 ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 2 ( )J d ( )J d . J 1 J b b m m n m n m n m m m n m m n n C f x f x b b m x b x b x                                              当 m  0 时，则为 (0) 0 0 1 ( ) J , n n n f C C x b              其中 0 2 0 2 ( ) d b C f b      (源于 (0) 0 x  0 )[其实 C0 是下述 Cn 的特例,并且 0 J (0) 1  ],   (0) (0) 2 0 0 2 2 (0) 0 0 (0) 0 0 1 2 ( )J d ( )J d J J b b n n n n n C f x f x b b b x x b                                . 对于第三类齐次边界条件的本征值问题，可以进行类似地讨论（思考题）。 In Qu. Mech., , . P i E i     t 对称性与守恒律：空间平移不变性  动量守恒；空间转动不变性  角动量 守恒；时间平移不变性  能量守恒。一般稳态问题， D1 维空间有 D 个守恒量