复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions

1)(2) v=0,v≠0) (B)x很大(x→∞)时[衰减式震荡函数,证明见教材§135] J,(x)~ N,(x)~ H(x)-√2-e H2(x) 3. Bessel函数J(x)的基本性质(这里仅仅讨论整数阶 Bessel函数) (1)生成函数(母函数,复习) ∑J(x)="(0<<∞) 特别地,令二=,有m0=∑J(x)em 证明 则 k!(2 (-) l=0k=0 ∑ k= lsk /ik! k!(2 (-1) k=0m6k!(k+n)!2 "+∑∑ 6=l(-n)!(2 ∑J、(x)2"+∑(-1)"Jn(x)="=∑J(x)="+∑(-)y"(-1)J、(x) (2)平面波按柱面波的展开(匹配、归化、一统描述)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 6 (1)(2) H (0) ( 0, 0).        (B). x 很大 ( ) x  时 [衰减式震荡函数，证明见教材§13.5] 2 J ( ) ~ cos . 2 4 x x x             2 N ( ) ~ sin . 2 4 x x x             (1) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x             (2) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x              3. Bessel 函数 J ( ) n x 的基本性质（这里仅仅讨论整数阶 Bessel 函数） （1）生成函数（母函数，复习） 1 2 J ( ) (0 ). x z z n n n e x z z               特别地，令 i z e   ，有 sin J ( ) . ix in n n e x e       证明：   1 2 0 2 0 1 , ! 2 1 , ! 2 x l z l l x k k z k k x e z l x e z k                                则：             1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 ! ! 2 1 1 ! ! 2 ! ! 2 1 1 !( )! 2 !( )! 2 x x x k l k z z z z l k l k k k l k l k l k l k k l k l k l k l n n k n l n n k n l n x e e e z l k x x z z l k l k x x z z k k n l l n                                                                                         0 1 0 1 J ( ) ( 1) J ( ) J ( ) ( 1) ( 1) J ( ) J ( ) . n n n n n n n n n n n n n n n n n n x z x z x z x z x z                           （2）平面波按柱面波的展开（匹配、归化、一统描述）

J (x) e Jo(x)+22Jm(kp)i" cos(me) 这里已用到了Jn(x)=(-)Jn(x)和em+(-1)me-m=2mcos(m (3)加法公式J(x+y)=∑J(x)n-(y) 证明 ∑J(x+y)",又 ∑J(x)2∑(y)=∑∑J()J() 令k=n+1,则 所以,比较两者得J(x+y)=∑J2(x)J-(0y) (4)积分公式 由 irsina J,(x)e得展开系数为 J, (x= de 2 cos(xsin 0-ne)do cos(ne-xsin e)de de de 第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零:第三行是第一行的→+x/2 (5)J(x)的零点[方程J(x)=0的根] (A).J,(x)的零点有无限多个,且x≠0的零点都是一级零点x"(n=1,2,3

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 7 cos 1 ( ) 2 0 1 J ( ) J ( ) 2 J ( ) cos( ). i ikz ik x t ie t t m m x k m m m m e e e x t x k i m                     这里已用到了 J ( ) ( ) J ( ) m m m x x    和 ( ) 2 cos( ). m im m im m i e i e i m         （3）加法公式 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y       证明：   1 2 J ( ) , x y z z n n n e x y z         又               1 1 1 2 2 2 J J J J . x y x y z z z z z z n l n l n l n l n l n l e e e x z y z x y z                         令 k  n l ，则           1 2 J J J J . x y z z k n n k n k n k n k n k e x y z x y z                    所以, 比较两者得 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y       （4）积分公式 由 sin J ( ) ix in n n e x e       得展开系数为       sin sin cos cos 1 1 J ( ) d d 2 2 1 1 cos sin d cos sin d 2 2 = d d . 2 2 ix in ix in n n n ix in ix in x e e e x n n x i i e e                                                               第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零；第三行是第一行的      / 2. （5） J ( ) x  的零点[方程 J ( ) 0 x   的根] (A). J ( ) x  的零点有无限多个，且 x  0 的零点都是一级零点 ( ) ( 1,2,3, ) n x n   :

Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaa Phys FDU J, (x)cos (x>1) 24 x=0为J,(x)(v≠0)的v级零点 J(x)~ (v≠0) r(v+1) (B)J(x)的零点必正负成对:这是因为J(x)具有奇(偶)对称性,即 J(-x)=(-1)"J(x),因此可以只讨论正零点。 (C).阶数相差为1[J、(x)与J1(x)或J(x)]时,正零点必两两相间。 证明思路:设ab为J(x)的相邻零点,作辅助函数y=xJ,(x),根据微分中 值定理,当y(a)=y(b)=0时,必有a<c<b,使得y(c)=0.再由递推公式 (x"Z,)'=x"Z,可以知道,J(x)的零点之间有J,(x)的零点。 (D).J(x)的最小正零点必大于J(x)的最小正零点(v≠0,x=0除外)。 证明思路:已知x=0为J(x)的n+1级零点。设a为J(x)的最小正零点, 作辅助函数y=xJ-(x),由y(0)=y(a)=0,必有y(c)=0,而取c在0<c<a,再由 (x'Z,)'=xZ,可知,c必为J(x)的零点 注1:J(x)的零点的具体数值可以从专门的Bese函数表查到,故当需要Jn(x) 的零点时,可以当作已知 注2:记Jn(x)的正零点即Jn(x)=0的根为xm(n=1,2… 注3:Jn(x)=0,ie,导数为零的点m>0n=1,2,…),均为J(x)之一阶零点。 注4:因为J(x)=-J1(x),所以x=xm)(n=12…),即J(x)的极值点正是J(x) 的零点。 (6)Jn(x)的图像(衰减式震荡函数) Mathematics

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 8 2 J ( ) ~ cos ( 1). 2 4 x x x x             x  0 为 J ( ) x  （   0 ）的  级零点: 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x              . (B). J ( ) x  的零点必正负成对：这是因为 J ( ) x  具有奇（偶）对称性，即 J ( ) ( 1) J ( ) x x       ，因此可以只讨论正零点。 (C). 阶数相差为 1 [ J ( ) x  与 1 J ( ) x   或 1 J ( ) x   ]时，正零点必两两相间。 证明思路：设 a b, 为 J ( ) x  的相邻零点，作辅助函数 y x x J ( )    ，根据微分中 值定理, 当 y a y b ( ) ( ) 0   时, 必有 a c b   , 使得 y c ( ) 0.  再由递推公式 1 ( )' x Z x Z       可以知道， J ( ) x  的零点之间有 1 J ( ) x   的零点。 (D). 1 J ( ) x   的最小正零点必大于 J ( ) x  的最小正零点 ( 0, 0   x 除外）。 证明思路：已知 x  0 为 1 J ( ) x   的 n 1 级零点。设 a 为 1 J ( ) x   的最小正零点， 作辅助函数 1 1 y x x J ( ),      由 y y a (0) ( ) 0,   必有 y c'( ) 0,  而取 c 在 0 ,  c a 再由 1 ( )' x Z x Z       可知, c 必为 J ( ) x  的零点。 注 1：J ( ) m x 的零点的具体数值可以从专门的 Bessel 函数表查到，故当需要 J ( ) m x 的零点时，可以当作已知. 注 2：记 J ( ) m x 的正零点即 J ( ) 0 m x  的根为 ( ) ( 1,2, ). m n x n  注 3：J' ( ) 0 m x  ，i.e，导数为零的点 ( ) 0( 1,2, ) m n x n   ，均为 J' ( ) m x 之一阶零点。 注 4： 因为 0 1 J' ( ) J ( ), x x   所以 (0) (1) = ( 1,2, ), n n x x n  即 0 J ( ) x 的极值点正是 1 J ( ) x 的零点。 （6） J ( ) m x 的图像（衰减式震荡函数） Mathematics：

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa(@ Phys. FDU J0=Plot BesselJ[ 0, x.x, 0, 12;J1=Plot[BesselJ[1, x,x, 0, 1231 J2=PlotBesselJ2, x],x, 0, 12; J3=Plot [BesselJ3, x,x, 0, 123; Show[J0, J1, J2,J3] 10 4.本征值问题 (1)方程 柱坐标系下 Laplace方程经变量分离后,它的径向函数满足 pR(p)+pR(p)+(4p2-m2)R(p)=0 其标准形式为 其中m是已知常数(由Φ的本征值问题确定),即m=0,1,2…,参数≥0待定(对 于另外一类物理问题,4<0,见下节)。此方程是下列 Sturm- Liouville方程 dx lk(x)y(x]-q(x)y(x)+1p(x)y(x)=0(asxsb) 的特例,其中K()=p因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了 (2)边界条件 设p的变化区间是0≤p≤b(即物理问题是在半径为a的圆柱体内),上面 的方程如果要构成本征值问题,则需附加如下边界条件之 1)k(p)=0=0:R=0有界 2)A(p)b≠0:齐次边界条件:Rl=b=0或Rlp=b=0或(aR+BR)l2=0 (3)解方程pR'(P)+pR()+(p2-m2kR)=0

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 9 J0=Plot[BesselJ[0,x],{x,0,12}];J1=Plot[BesselJ[1,x],{x,0,12}]; J2=Plot[BesselJ[2,x],{x,0,12}];J3=Plot[BesselJ[3,x],{x,0,12}]; Show[J0,J1,J2,J3] 4. 本征值问题 （1）方程 柱坐标系下 Laplace 方程经变量分离后，它的径向函数满足   2 2 2       R R m R   ( ) ( ) ( ) 0,     其标准形式为 2 d d ( ) ( ) ( ) 0, d d R m R R                  其中 m 是已知常数（由  的本征值问题确定），即 m  0,1,2, , 参数   0 待定（对 于另外一类物理问题，   0，见下节）。此方程是下列 Sturm-Liouville 方程     d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d k x y x q x y x x y x a x b x        的特例，其中 k( ) .    因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了。 （2）边界条件 设  的变化区间是 0    b （即物理问题是在半径为 a 的圆柱体内），上面 的方程如果要构成本征值问题，则需附加如下边界条件之一： 0 1). ( ) 0 : k     R  0有界 ； 2). ( ) 0 : b k     齐次边界条件： | 0 R  b  或 ' | 0 R  b  或 ( ' ) | 0.   R R   b （3）解方程 ( ) ( )   ( ) 0 2 2 2  R   R     m R  

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa(@ Phys. FDU 设>0记√p=x,R()=y(x),代入上式得: x y +xyt y=0 这是m阶 Bessel方程,其解为 (x)=CJ(x)+C2Nn(x),或者R)=CJn(Ap)+C2Nn(Ap) a).有界:要求C2=0,解为Rp)=CJ(Ap) b)对于第一类齐次边界条件m=0:R(plm=Cn(mb)=0→J(√Amb)=0 J()的正零点记为x",则:mb=xm(m=12,)→=1m=x即为 b 本征值,R(P)=R(p)=J(xm2)为本征函数,n为量子数。特别地,当m=0时, J(x0=0)=1,矛盾于本征值方程J(b)=J(x0)=0.所以 c)对于第二类齐次边界条件R=0:R(p=C、mn(√灿b)=0 →Jn(b)=0,J(x)的正零点记为到m,则: √b=x(-12,=2-1b R(p)=R, (p)=J (lm) 特别地,当m=0时,=√b=0也是它的本征值,相应的本征函数为R(p)=1 d)对于第三类齐次边界条件(aR+R)=b=0,可以进行相似的讨论(思考题 (4)正交性 J (xm p)J (m) P)pdp=0 (n*n)cRIps=0 ∫n(x2)(x2)则=0(m≠)==0 注意:当m=0时,=、如b=0不是J(x2)=1的本征值,而=如b=0是 Ja(e02)=0的本征值,本征函数为J(x2)=1 (5)模方

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 10 设   0, 记     x R y x , ( ) ( ) ，代入上式得：   2 2 2 x y xy x m y       0. 这是 m 阶 Bessel 方程，其解为： 1 2 ( ) J ( ) N ( ), m m y x C x C x   或者 1 2 ( ) J ( ) N ( ). R C C      m m 0 a R ).  有界: 要求 C2  0，解为 1 ( ) J ( ). R C    m b). 对于第一类齐次边界条件 0: b R   1 ( ) J ( ) 0 R C b    b   m J ( ) 0 m   b ， J ( ) m x 的正零点记为 ( ) m n x ，则： ( ) ( 1,2, ) m n b x n   2 ( ) ( ) m m n n x b            即为 本征值， ( ) ( ) ( ) J ( ) m R R x n m n b      为本征函数，n 为量子数。特别地，当 m  0 时， (0) 0 0 J ( 0) 1 x   ，矛盾于本征值方程 (0) 0 0 0 J ( ) J ( )=0, b x  所以 2 (0) (0) >0. n n x b         c). 对于第二类齐次边界条件 0: b R    1 ( ) J' ( ) 0 R C b    b m    J' ( ) 0 m   b ，J' ( ) m x 的正零点记为 ( ) m n x ，则： ( ) ( 1,2, ) m n b x n   ， 2 ( ) ( ) m m n n x b           ， ( ) ( ) ( ) J ( ). m R R x n m n b      特别地，当 m  0 时， (0) 0 x b    0 也是它的本征值，相应的本征函数为 R( ) 1.   d ). 对于第三类齐次边界条件   0 b R R        ，可以进行相似的讨论（思考题）。 （4）正交性 ( ) ( ) 0 J ( )J ( ) d 0 ( ) b m m m n m n x x n n b b          0. b R    ( ) ( ) 0 J ( )J ( ) d 0 ( ) b m m m n m n x x n n b b          0. b R      注意：当 m  0 时， (0) 0 x b    0 不是 (0) 0 0 J ( ) 1 x b   的本征值, 而 (0) 0 x b    0 是 ' (0) 0 0 J ( ) 0 x b   的本征值, 本征函数为 (0) 0 0 J ( ) 1. x b   （5）模方