电动力学习题课(一) Feb 20th. 2009 1特殊函数与爱因斯坦求和约定 1) Kronecker delta函数b 0i≠j (1.1) 2)Levi- civita张量eik: 1j是偶置换,即ik=123,231,312 1[ij是奇置换,即ik=213,132,321 (1.2) 0 otherwise 3)爱因斯坦求和约定:公式中重复指标自动求和,略去求和号 A2B1≡A1B (1.3) =1 注意:以上的定义只适用于平直空间,而不适用于弯曲空间(广义相对论考虑的空间)。 Levi- civita张量的性质: · Levi-civita张量对于下标反称:cik=-Eik ·下标重复, Levi-civita张量为0:εik=0 单重求和:6=m=6n0n-mmm ·两重求和: Eiikemik=6m6y-i35m=30m-bim=20m ·三重求和: Erik erik=26=6 2标量,矢量和张量的引入 2.1定义 论物理量是标量还是矢量的大前提是物理规律的协变性,即描述物理规律的方程在惯性系变 换下形式不变。 由于运动总是在四维时空中进行,所以不妨设四维空间惯性系的变换为 那么物理量可按如下分类
电动力学习题课（一） Feb 20th, 2009 1 特殊函数与爱因斯坦求和约定 1) Kronecker delta函数δij : δij = ½ 1 i = j 0 i 6= j (1.1) 2) Levi-civita张量εijk: εijk = 1 [ijk]是偶置换，即ijk = 123, 231, 312 −1 [ijk]是奇置换，即ijk = 213, 132, 321 0 otherwise (1.2) 3)爱因斯坦求和约定：公式中重复指标自动求和，略去求和号。 X 3 i=1 AiBi ≡ AiBi (1.3) 注意：以上的定义只适用于平直空间，而不适用于弯曲空间（广义相对论考虑的空间）。 Levi-civita张量的性质： • Levi-civita张量对于下标反称：εijk = −εjik • 下标重复，Levi-civita张量为0：εiik = 0 • 单重求和：εijkεmnk = δimδjn − δinδjm ≡ ¯ ¯ ¯ ¯ δim δin δjm δjn ¯ ¯ ¯ ¯ • 两重求和：εijkεmjk = δimδjj − δijδjm = 3δim − δim = 2δim • 三重求和：εijkεijk = 2δii = 6 2 标量，矢量和张量的引入 2.1 定义 讨论物理量是标量还是矢量的大前提是物理规律的协变性，即描述物理规律的方程在惯性系变 换下形式不变。 由于运动总是在四维时空中进行，所以不妨设四维空间惯性系的变换为： x 0 µ = aµνxν (2.1) 那么物理量可按如下分类： 1
●标量C:不同惯性系变换下的不变量。 ·矢量A:由四个分量组成,且不同惯性系变换下按如下方式变换的量:A=amA ·二阶张量:由十六个分量组成,不同惯性系变换下按如下方式变换的量:T=aan1A6 ●类似可以知道n阶张量的定义。 注意:这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换,比如说伽利略变换或者洛伦 兹变换。 22从伽利略变换到洛伦兹变换 在19世纪末,很多人都认为经典力学是完美的,这是因为经典力学的基本方程 Lagrange's equa tion在伽利略变换下是协变的 我们首先来验证这一点。为了简单,我们考虑下面的变换 r+ut (22) 从Eq(22)可以得到 0 (23) 0 at x+就 (24) 进一步,可得 0x!0x at' at (25) 注意:Eq2(25)并不表示不同参考系下的速度相等,因为速度是位移对时间的全微分 又经典力学的时间观是绝对的,其数学表示为: dd dt′dt (2 综合Eq(23,2.5,2.6)可知: dta记axdt (27) q2(27)说明 Lagrange's Equation在变换Eq(22)下是协变的 然而由麦克斯韦方程组推出的达朗贝尔方程: 02 9-0∈0 2 (28) 显然在伽利略变换下是不协变的,那么现在的问题就是如果承认伽利略变换,麦克斯韦方程组 就是错误的;如果承认麦克斯韦方程组,伽利略变换就是不正确的。 Einstein选择了后者,用洛 伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换,进而建立了狭义相对论。 也许你会问:四维时空除了上面两类变换,还有别的变换么? 幸运的是数学上可以严格证明R4只有两种微分结构
• 标量C：不同惯性系变换下的不变量。 • 矢量A~：由四个分量组成，且不同惯性系变换下按如下方式变换的量：A0 µ = aµνAν • 二阶张量 ~ T~：由十六个分量组成，不同惯性系变换下按如下方式变换的量：T 0 µν = aµλaνδTλδ • 类似可以知道n阶张量的定义。 注意：这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换，比如说伽利略变换或者洛伦 兹变换。 2.2 从伽利略变换到洛伦兹变换 在19世纪末，很多人都认为经典力学是完美的，这是因为经典力学的基本方程Lagrange’s Equation在伽利略变换下是协变的。 我们首先来验证这一点。为了简单，我们考虑下面的变换： ½ x 0 = x + vt t 0 = t (2.2) 从Eq.(2.2)可以得到： ∂ ∂x0 = ∂ ∂x (2.3) ∂ ∂t0 = −v ∂ ∂x + ∂ ∂t (2.4) 进一步，可得： ∂x0 ∂t0 = ∂x ∂t (2.5) 注意：Eq.(2.5)并不表示不同参考系下的速度相等，因为速度是位移对时间的全微分。 又经典力学的时间观是绝对的，其数学表示为： d dt 0 = d dt (2.6) 综合Eq.(2.3,2.5,2.6)可知： d dt 0 ( ∂L 0 ∂x˙ 0 ) − ∂L 0 ∂x0 = d dt ( ∂L ∂x˙ ) − ∂L ∂x = 0 (2.7) Eq.(2.7)说明Lagrange’s Equation在变换Eq.(2.2)下是协变的。 然而由麦克斯韦方程组推出的达朗贝尔方程： ∇2ϕ − µ0²0 ∂ 2ϕ ∂t2 = − ρ ²0 (2.8) 显然在伽利略变换下是不协变的，那么现在的问题就是如果承认伽利略变换，麦克斯韦方程组 就是错误的；如果承认麦克斯韦方程组，伽利略变换就是不正确的。Einstein选择了后者，用洛 伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换，进而建立了狭义相对论。 也许你会问：四维时空除了上面两类变换，还有别的变换么？ 幸运的是数学上可以严格证明R 4只有两种微分结构。 2
3正交曲线坐标系 31基本概念 定义:三维空间R3,如果p∈R3,彐一组独立、连续、单值函数: u1=f1(x,y,z),w2=f2(x,y,2),3=f3(x,y,2) 并且其反函数 x=91(un,u2,u3),y=y2(u1,u2,u3),z=y3(un,u2,u3) (3 也独立连续单值,则称(u1,u2,u3)为p点的曲线坐标( Curvilinear coordinates),{(u1,u2,u3)}为 一般曲线坐标系 在曲线坐标系中,位置矢量为产u1,u2,t3),那么微分线元为 de s dr= andul a2du2 +asdus 如果,可1,a2,a3两两垂直,则称此曲线坐标系为正交曲线坐标系( Orthogonal curvilinear Coordinates) 下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢: erdr+eydy+e2d (34) 0y1 0 092dμ1+ 0y2 dp2 d43) o2+33 0y3 (3.5) 091+e9ap +e23) giedi (36) 其中 度量因子99=(22+(02)2+(2 (3.7) 基矢=(eny1+c+e 1。ay1 (38 32基矢 (3.9) 3.10 有了基矢的运算公式,便可以考虑矢量A=A2e的运算: 1)点乘( dot product) A. B=Ai ei- e=A, Bi (3.11) 2)又乘 cross product) A×B=ABfe1×e;=EikA1Bfe 3.12 3)三重标积( scalar triple product) A.(B×C)=Amem·EikB2Cek=∈ imaM bi c 3.13)
3 正交曲线坐标系 3.1 基本概念 定义：三维空间R 3，如果∀p ∈ R 3，∃一组独立、连续、单值函数： u1 = f1(x, y, z), u2 = f2(x, y, z), u3 = f3(x, y, z) (3.1) 并且其反函数 x = ϕ1(u1, u2, u3), y = ϕ2(u1, u2, u3), z = ϕ3(u1, u2, u3) (3.2) 也独立连续单值，则称(u1, u2, u3)为p点的曲线坐标(Curvilinear Coordinates)，{(u1, u2, u3)}为 一般曲线坐标系。 在曲线坐标系中，位置矢量为~r(u1, u2, u3)，那么微分线元为： d~` ≡ d~r = ~a1du1 + ~a2du2 + ~a3du3 (3.3) 如果∀~r，~a1,~a2,~a3两两垂直，则称此曲线坐标系为正交曲线坐标系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)。 下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢： d~` ≡ eˆxdx + ˆeydy + ˆezdz (3.4) = ˆex( ∂ϕ1 ∂µ1 dµ1 + ∂ϕ1 ∂µ2 dµ2 + ∂ϕ1 ∂µ3 dµ3) + ˆey( ∂ϕ2 ∂µ1 dµ1 + ∂ϕ2 ∂µ2 dµ2 + ∂ϕ2 ∂µ3 dµ3) + ˆez( ∂ϕ3 ∂µ1 dµ1 + ∂ϕ3 ∂µ2 dµ2 + ∂ϕ3 ∂µ3 dµ3) (3.5) = (ˆex ∂ϕ1 ∂µi + ˆey ∂ϕ2 ∂µi + ˆez ∂ϕ3 ∂µi )dµi ≡ gieˆidµi (3.6) 其中 度量因子gi gi = [(∂ϕ1 ∂µi ) 2 + (∂ϕ2 ∂µi ) 2 + (∂ϕ3 ∂µi ) 2 ] 1 2 (3.7) 基矢eˆi eˆi = 1 gi (ˆex ∂ϕ1 ∂µi + ˆey ∂ϕ2 ∂µi + ˆez ∂ϕ3 ∂µi ) (3.8) 3.2 基矢 eˆi · eˆj = δij (3.9) eˆi × eˆj = εijkeˆk (3.10) 有了基矢的运算公式，便可以考虑矢量A~ = Aieˆi的运算： 1)点乘(dot product): A~ · B~ = AiBjeˆi · eˆj = AiBi (3.11) 2)叉乘(cross product): A~ × B~ = AiBjeˆi × eˆj = εijkAiBjeˆk (3.12) 3)三重标积(scalar triple product)： A~ · (B~ × C~ ) = Ameˆm · εijkBiCjeˆk = εijmAmBiCj (3.13) 3
用Eq(3.13)不难证明 C)=B·(C×A)=C·(A×B) 4)三重矢积( vector triple product) A×(B×C X Eijk Bi Chek Am B c jEijk, Am Bi Ci (SinSim-Sim&in)en B, Cmei-AmBmCie (A·C)B-(A·B)C 315) 利用Eq1(3.15)不难证明: A×(B×C)+B×(C×A)+C×(A×B) 5)并积( dyadic product) T≡AB=A1Bfe1e 我们一般称AB为并矢(dyad),一共9个分量,其中6个独立。 两个或两个以上的并矢之和称为并矢式( dyadic),有9个独立分量,也称二阶张量 并矢相关运算 a)点乘 e 6;y (318) ei eek diemer (3.19) b)叉乘 (320) (321) 事实上,在张量代数中只要知道了基矢的运算公式就可以计算任何矢量的运算结果了。 作为练习,大家可以验证下面的公式 a(ba)=(a·bd a x (6)=(d×b) 24) (6×a=b(c×a c)双点积( double dot product) (ee3):(eke)≡(e;·ek)(e1·ep) (326) 那么 A: B=(Aie; e,): (Bkekee)=Aii B (327) 很明显,双点积的作用相当于矩阵相乘再求迹( trace)
用Eq.(3.13)不难证明： A~ · (B~ × C~ ) = B~ · (C~ × A~) = C~ · (A~ × B~ ) (3.14) 4)三重矢积(vector triple product): A~ × (B~ × C~ ) = Ameˆm × εijkBiCjeˆk = AmBiCjεijkεmkneˆn = AmBiCj (δinδjm − δimδjn)ˆen = AmBiCmeˆi − AmBmCjeˆj = (A~ · C~ )B~ − (A~ · B~ )C~ (3.15) 利用Eq.(3.15)不难证明： A~ × (B~ × C~ ) + B~ × (C~ × A~) + C~ × (A~ × B~ ) = 0 (3.16) 5)并积(dyadic product): ~ T~ ≡ A~B~ = AiBjeˆieˆj (3.17) 我们一般称A~B~为并矢(dyad)，一共9个分量，其中6个独立。 两个或两个以上的并矢之和称为并矢式(dyadic)，有9个独立分量，也称二阶张量。 并矢相关运算: a)点乘： eˆi · eˆjeˆk = δijeˆk (3.18) eˆmeˆi · eˆjeˆk = δijeˆmeˆk (3.19) b)叉乘： eˆi × eˆjeˆk = εijneˆneˆk (3.20) eˆmeˆi × eˆjeˆk = εij`eˆmeˆ`eˆk (3.21) 事实上，在张量代数中只要知道了基矢的运算公式就可以计算任何矢量的运算结果了。 作为练习，大家可以验证下面的公式： ~a · ( ~b~c) = (~a · ~b)~c (3.22) ( ~b~c) · ~a = ~b(~c · ~a) (3.23) ~a × ( ~b~c) = (~a ×~b)~c (3.24) ( ~b~c) × ~a = ~b(~c × ~a) (3.25) c)双点积(double dot product)： (ˆeieˆj ) : (ˆekeˆ`) ≡ (ˆej · eˆk)(ˆei · eˆ`) (3.26) 那么 ~A~ : ~B~ = (Aijeˆieˆj ) : (Bk`eˆkeˆ`) = AijBji (3.27) 很明显，双点积的作用相当于矩阵相乘再求迹(trace)。 4
33梯度 根据我们已知的直角坐标下的运算可得 dT (328) 1 aT VT= ap (3.29) 910y (3.30) 虽然这里的推导V是对于标量T而言的,但是实际上Eq(3.30)确是恒成立的。 综合Eq1、3.9,3.10,3.29)可得到下面一些有用的公式: givA 2m9(山)x(Vp) 332) (V)×(H) gigi 细论ⅴ:原则上来说,有了Eq(3.30)以及前面张量分析的基矢运算法则,便可以计算正交曲线坐 标系下任何形式的微分运算,但是这个过程中会涉及到联络的概念,比较难以计算,所以下面 来介绍一种较为简单的算法。 10 (334) 90p 很明显,V既是矢量又是线性算符,所以计算时可以分为两步: 1)忽略ⅴ的矢量特征,仅把其当做算符作用于函数或矢量,但要保持等式的运算顺序; 2)再考虑ⅴ是矢量,运用矢量公式进行计算,但要保证求导顺序的正确。 下面来看两个例子 V(·B)=VA(A·B)+VB(A·B (335) B×(VA×A)+(B.VA)A+A×(VB×B)+(AVB)B(3.36) B×(V×A+(B.V)A+Ax(V×B+(·V)B (3.37) Eq(3.35)利用了的算符特征,Eq2(3.36)利用了V的矢量特性。 V×(V×A)=Vy×(V×A)+VA×(V×A) (338) V(VA·A)-(V.VA)A (3.39) V(V·4)-(·V)A A (3.40) Eq(3.38)利用了V的算符特征,Eq2(3.39)利用了V的矢量特性。 般我们用Eq(340)来定义矢量的 Laplacian 因为电动力学经常碰到这类运算,所以应该熟悉这种计算方法,作为练习,大家可以尝试推导 书后附录一中的公式 3.4散度和旋度 散度: 1O(9:4)+0(9142)+(9943
3.3 梯度 根据我们已知的直角坐标下的运算可得： dT = ∂T ∂µi dµi ≡ (∇T) · (d~`) (3.28) ⇒ ∇T = 1 gi ∂T ∂µi eˆi (3.29) ⇒ ∇ = ˆei 1 gi ∂ ∂µi (3.30) 虽然这里的推导∇是对于标量T而言的，但是实际上Eq.(3.30)确是恒成立的。 综合Eq.(3.9,3.10,3.29)可得到下面一些有用的公式： eˆj = gj∇µj (3.31) eˆm = 1 2 εijmgigj (∇µi) × (∇µj ) (3.32) (∇µi) × (∇µj ) = εijk gigj eˆk (3.33) 细论∇：原则上来说，有了Eq.(3.30)以及前面张量分析的基矢运算法则，便可以计算正交曲线坐 标系下任何形式的微分运算，但是这个过程中会涉及到联络的概念，比较难以计算，所以下面 来介绍一种较为简单的算法。 ∇ = ˆei 1 gi ∂ ∂µi (3.34) 很明显，∇既是矢量又是线性算符，所以计算时可以分为两步： 1)忽略∇的矢量特征，仅把其当做算符作用于函数或矢量，但要保持等式的运算顺序； 2)再考虑∇是矢量，运用矢量公式进行计算，但要保证求导顺序的正确。 下面来看两个例子： ∇(A~ · B~ ) = ∇A(A~ · B~ ) + ∇B(A~ · B~ ) (3.35) = B~ × (∇A × A~) + (B~ · ∇A)A~ + A~ × (∇B × B~ ) + (A~ · ∇B)B~ (3.36) = B~ × (∇ × A~) + (B~ · ∇)A~ + A~ × (∇ × B~ ) + (A~ · ∇)B~ (3.37) Eq.(3.35)利用了∇的算符特征，Eq.(3.36)利用了∇的矢量特性。 ∇ × (∇ × A~) = ∇∇ × (∇ × A~) + ∇A × (∇ × A~) (3.38) = ∇(∇A · A~) − (∇ · ∇A)A~ (3.39) = ∇(∇ · A~) − (∇ · ∇)A~ ≡ ∇(∇ · A~) − ∇2A~ (3.40) Eq.(3.38)利用了∇的算符特征，Eq.(3.39)利用了∇的矢量特性。 一般我们用Eq.(3.40)来定义矢量的Laplacian。 因为电动力学经常碰到这类运算，所以应该熟悉这种计算方法，作为练习，大家可以尝试推导 书后附录一中的公式。 3.4 散度和旋度 散度： ∇ · A~ = ∇ · (Ameˆm) = 1 g1g2g3 [ ∂(g2g3A1) ∂µ1 + ∂(g3g1A2) ∂µ2 + ∂(g1g2A3) ∂µ3 ] (3.41) 5