高等数学222例2求星形线x3+y3=a3(a>0)绕轴旋转构成旋转体的体积22解 ：y3=a3-x3201a-x3=Tasxe[-a,a旋转体的体积上页2232下页3元a3-x3dx =元a返回105
下页 返回 上页 − a a o y x 例 2 求星形线 32 32 32 x + y = a (a 0)绕x 轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 32 32 32 y = a − x 3 32 32 2 y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx aa 3 32 32 = − − . 105 32 3 = a
高等数学类似地，如果旋转体是由连续曲线x=()、直线y=c、=d及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体V体积为V= ("元[0(y)]'dyx=p(y)上页2下页0x返回
下页 返回 上页 类似地，如果旋转体是由连续曲线 x = ( y)、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体， 体积为 x y o x = ( y) c d y dy 2 [( )] = d c V
高等数学例3，求摆线x=a(t-sint)， y=a(l-cost)的一拱与y=0所围成的图形分别绕x 轴、轴旋转构成旋转体的体积解绕x轴旋转的旋转体体积y(x)元y(x)dxVX=L2元aTuZTa(1 - cost)? .a(1 - cos t)dt=元上页10下页2元S(1-3cos t +3cos2 t - cos3 t)dt = 5元2a3返回=元a
下页 返回 上页 例 3 求摆线 x = a(t − sin t)， y = a(1 − cos t) 的一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 20 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 20 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a a 2a y(x)
高等数学绕√轴旋转的旋转体体积Bx=x2(y)2ax=x(y)A可看作平面图OABC与OBC22元ax分别绕v轴旋转构成旋转体的体积之差2"元x:(y)dt -J"元x(y)dtV, = fo""a'(t-sint)?.asintdt=元J2元上页-πf" a'(t - sint)? asin tdt下页2元返回M(t -sin t)" sin tdt = 6元a3=元a10
下页 返回 上页 绕y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC 与OBC 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2 = x y dt a ( ) 2 2 0 1 − o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a