二、曲线的凹凸与拐点 定义.设函数f(x)在区间I上连续,x1,x2∈I, (1)若恒有f(+2)<(x)+f(x2) 则称f(x)的 图形是凹的 (2)若恒有f(2f(x1)+f(x2),则称f(x)的 图形是凸的 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 O HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理(四凸判定法)设函数f(x)在区间/上有二阶导数 (1)在/内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的;七 (2)在/内f(x)<0,则f(x)在/内图形是凸的 证:x1,x2∈,利用阶泰勒公式可得 f(x1)=∫( x X+x f(2 f"(51 x1+x22 2 f(x2)=f(+2)+(+)x2一+)计(52(x,一x+x2 两式相加 f(x)+f(x2)=2f(,)+("2)f”(5+f"(52) 当f"(x)>0时,x片(2>f(+x),说明(1)成立 2)证毕 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当f (x) 0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立; (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕