绵阳师范学院：《高等数学》课程PPT教学课件（高等代数）第2章 矩阵

2.2.3初等矩阵的定义、性质 定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵 n=4 000 0100 4 0010 1000 000 1000 00 010k D3(k) 724(k) 00k0 00 0 0001 0001 16【上页 下页「结束 铃

16 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.2.3 初等矩阵的定义、性质 定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵. n = 4               = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 P14               =               = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ( ) 3 2 4 k T k k D k

定理1对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左 乘A;对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘 A。如 1、交换A的i,j行相当于用P左乘A 13 如 [1,3] 2、把A的第行乘以数k相当于用D(k)左乘A. 3、把的第行乘以媚加到第行相当于用7(k)左乘A. 即A_行→A分→>EA=A,E为相应的初等矩阵 17首页【上页 下页「结束 铃

17 首页 上页 返回 下页 结束 铃 定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左 乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘 A。如 1、交换A的i ，j 行相当于用 P A ij左乘 . 11 12 13 31 31 33 [1,3] 21 22 23 21 22 23 13 31 32 33 11 12 13 a a a a a a a a a a a a P A a a a a a a         ⎯⎯⎯→ =             如 2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 ( ) . D k A i 左乘 3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 T k A ij( )左乘 . 即 A A EA A E ⎯⎯→  = , . 行 为相应的初等矩阵

定理2初等矩阵可逆,且逆矩阵仍为初等矩阵且 D(K=D( T,(k)=T(k) k 引理1AA,则A可逆A可逆.(初等变换 不改变可逆性) 定理3任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为 18上页 下页「结束 铃

18 首页 上页 返回 下页 结束 铃 定理2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 1 1 T k T k k Pi j = Pi j Di k = Di i j = i j − − − − 引理1 ，则 . （初等变换 不改变可逆性）. A A ⎯⎯→行 A可逆  A可逆 定理3 任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为         = − − − − m r r m r n r r r n r O O I O A , ,

证由定理212,A可通过行及列变换化为 10 01 0 C 00 1 C 0 对(*)作第三种列变换即可化为A 19【上页 下页「结束 铃

19 首页 上页 返回 下页 结束 铃 证 由定理2.1.2，A可通过行及列变换化为 (*) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , 1 2, 1 2 1, 1 1                     + + +                        r r r n r n r n C C C C C C 对（*）作第三种列变换即可化为 A

2.2.4矩阵可逆的判别 n阶矩阵A可逆分A分→A写成初等矩阵的乘积 台>秩4=n<Ak≠0 证明: ①A可逆,A→ r.n-7 F 则A可逆,A无零行,即A=1 反之,若A_→I,由I可逆知A可逆 上页 下页「结束 铃

20 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.2.4 矩阵可逆的判别 n 阶矩阵A可逆  ⎯⎯→  A I A可写成初等矩阵的乘积  秩A = n | A| 0 证明： A O O I o A n r r n r n r r r n r =         → − − − − , , , ① A可逆, 则 可逆， 无零行，即 . 反之，若A→I，由I可逆知A可逆. A A A = I