2.1.4方阵的多项式 单位矩阵:主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩 阵,记为L或Ⅰ O ×n 单位矩阵也可以记为E或E它有如下性质 nxm m n×m 方阵A的方幂:A.AA=Ak规定:A= 设多项式f(x)=anx"+an1x“+……+a1x+a0那么 f(A=anA"+a +…+a1A+anI 在名项式的等式中用A代×以作出形式相同的矩阵等式 结束 铃
11 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.1.4 方阵的多项式 单位矩阵 :主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩 阵, 记为 n I 或 I 1 1 0 0 n n 单位矩阵也可以记为 En或E .它有如下性质: , n An m An m I = n m m An m A I = 方阵A的方幂: k A A......A = A 规定: A = I 0 设多项式 1 0 1 1 f (x) a x a x ...... a x a n n n = n + + + + − − 那么, f A a A a A a A a I n n n n 1 0 1 1 ( ) = + + ......+ + − − 在多项式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩阵等式
2.1.5矩阵的转置 设A= 把矩阵A的行与列互换之后,得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵, 记为A或A 转置有下面的性质: (9)(A)y=A (10)(A+B)=A+B (1)(4B)y=BA 12首页[上页【这回下页)[结 铃
12 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.1.5 矩阵的转置 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 把矩阵 A 的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵, 记为 A' 或 . T A 转置有下面的性质: (9) (A')'= A (10) (A+ B)'= A'+B' (11) (AB)' = B'A
2.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式 内容分布 2,2,1可逆矩阵的定义 2.2,2可逆矩阵的性质 2,2,3初等矩阵的定义、性质 2,2,4矩阵可逆的判别 2,2,5逆矩阵的求法 2,2,6矩阵乘积的行列式 二、教学目的 1掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。 3了解初等矩阵与初等变换的关系 重点、难点 逆矩阵的求法一矩阵可逆的类水 首页 上页 回 铃
13 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式 一、内容分布 2．2．1 可逆矩阵的定义 2．2．2 可逆矩阵的性质 2．2．3 初等矩阵的定义、性质 2．2．4 矩阵可逆的判别 2．2．5 逆矩阵的求法 2．2．6 矩阵乘积的行列式 二、教学目的 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。 3 了解初等矩阵与初等变换的关系 三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别
2.2.1可逆矩阵的定义 定义1为上n阶方阵,若存在n阶方阵B,使 AB=BA= 称A为可逆矩阵(非奇异矩阵),B称为小的逆矩阵 例: 253-5 3-5 5(10 3)(0 B 屿为逆矩阵 注1有零行或零列的矩阵不可逆 上页 下页「结束 铃
14 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.2.1 可逆矩阵的定义 定义1 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵. 例： A B = − − = − − 0 1 1 0 1 3 2 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 3 2 5 A与B互为逆矩阵. 注1 有零行或零列的矩阵不可逆
2.2.2可逆矩阵的性质 ①A可逆,则A的送矩阵唯 证设B,C均为饷逆矩阵,则 AB= BA=AC=CA=I B=BI=BAC=(BA)C=IC=C ②A可逆,则A1可逆,且(A)=A 证注意到A(A)=AA=即得 ③AB可逆,则AB也可逆,且(AB)=BA 证注意到AB(B1A)=(BA4)AB=I即得 A可逆,则A可逆,且(4)=(A) 证AA1=A由4=I 有(A)4=X(A:)= 5【首页上页 下页「结束 铃
15 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.2.2 可逆矩阵的性质 ① A可逆，则A的逆矩阵唯一。 证 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =（BA）C = IC = C 证 注意到 A A = A A = I 即得. −1 −1 ( ) 证 注意到 AB B A = B A AB = I 即得. − − − − ( ) ( ) 1 1 1 1 ④ A可逆，则 , ( ) ( ) 1 1 = − − A 可逆 且 A A ② A可逆，则 A −1 可逆，且 A = A −1 −1 ( ) 由 有 . AA = A A = I −1 −1 A A = A A = I − − ( ) ( ) 1 1 证 ③ A，B可逆，则AB也可逆，且 . 1 1 1 ( ) − − − AB = B A