D(∑X)=∑D(X)=∑ 1 12 由切比晓夫不等式得 1≥P∑ xk-ke}≥1-a k=1 nE 所以imP{∑x-ke}=1 n→>0 注:当n充分大时,∑X差不多不再是随机的了, 其取值接近于其数学期望的概率接近于1
2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n i i i i i D X D X n n n n = = = = = = 由切比晓夫不等式得： 2 2 1 | } 1 1 {| n X n P n k k − − = 1 所以 1 1 lim {| | } 1 n i n i P X n → = − = = n i Xi n 1 1 其取值接近于其数学期望的概率接近于1. 注：当n充分大时， 差不多不再是随机的了
定理2(辛钦定律) 设随机变量序列X1,X2,独立同分布, 且具有相同的数学期望E(X)=A1,1=1,2 则mP{∑X-ke}=1 辛钦 n→> 比较和定理1的条件有什么不同? 辛钦大数定律中,随机变量的方差可以不存在,只要 独立同分布就可以了
定理2（辛钦定律） 且具有相同的数学期望 辛钦 设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布， 则 ( ) , 1,2, E X i i = = 1 1 lim {| | } 1 n i n i P X n → = − = 辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要 独立同分布就可以了。 比较和定理1的条件有什么不同？
定理3(伯努利大数定律 设n是m重贝努里试验中事件A发生的次数 P是事件发生的概率,则对任给的e>0,有W 雅各布第一·伯努利 ImPrinT pke}=1或lmP{--p}=0 n→) 即 n 证明引入随机变量 ∫1,第以试验中发生 10 =1,2, 第试验中4不发生
定理3（伯努利大数定律） P是事件A发生的概率，则对任给的ε> 0，有 lim {| − | } =1 → p n n P A n 或 lim {| − | } = 0 → p n n P A n 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， 即 . nA P p n ⎯⎯→ 证明 引入随机变量 1, 0 i i X i = 第 次 ， 第 次 试验中A发生， 试验中A不发生， i =1 2
显然n4=X1+X2+…+Xn 且E(x1)=P,D(X1)=P(1-p),i=1,2,…,n 又由于各次试验相互独立,所以 X1,X2…,Xn独立同分布,则由辛钦大数定律可得 Pi-A-pke 显然伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况
显然 A n 1 2 n X X X = + + + 且 又由于各次试验相互独立，所以 1 2 , , , X X X n 独立同分布, 则由辛钦大数定律可得 lim {| − | } =1 → p n n P A n 显然伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况
例3如何测量某一未知的物理量a,使得误差较小 解在相同的条件下测量n次,其结果为 X12X2…,Xn,它们可看成是相互独立、相同分布的 随机变量,并且有数学期望为a.于是由辛钦大数定律 可知,当n-∞时,有 ∑X,-">B(X) 因此我们可取m次测量值x12x2…,x的算术平均值 作为a的近似值,即a≈∑x当n充分大时误差很小
例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？ 解 在相同的条件下测量n 次，其结果为 1 2 , , , X X X n ，它们可看成是相互独立、相同分布的 随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律 可知，当 n → 时，有 1 1 1 ( ) n P i i X E X a n = ⎯⎯→ = 因此我们可取n次测量值 1 2 , , , n x x x 的算术平均值 作为a 的近似值，即 1 1 n i i a x n = ,当n充分大时误差很小