由初始条件y0)=0,我们得C1+C2=0,由初始条件 y(0)=1,得C1+2C2=1.所以C2=1,C1=-1.于是,满 足所给初始条件的特解为y=-ex+e2x 定义1(线性相关,线性无关)设函数y(x),y2(x) 是定义在区间(a,b)内的函数,若存在两个不全为零的数 k1,k2,使得对于(a,b)内的任一x恒有 k1y1+k2y2=0 成立,则称函数,y2在(a,b)内线性相关,否则称为线性 无关
由初始条件y(0) = 0，我们得C1 + C2 = 0，由初始条件 y(0) =1，得 2 1. C1 + C2 = 所以C2 = 1，C1 = −1．于是，满 足所给初始条件的特解为 x x y 2 = −e + e ． 设函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是定义在区间( , ) a b 内的函数，若存在两个不全为零的数 1 2 k , k ，使得对于( , ) a b 内的任一 x 恒有 成立，则称函数 1 2 y , y 在( , ) a b 内线性相关，否则称为线性 无关． 0 k1 y1 + k 2 y2 = 定义1 （线性相关，线性无关）
y1,y2线性相关的充分必要条件是在(ab)区间内 恒为常数.若不恒为常数,则y,y2线性无关当y y2 与y2线性无关,函数y=Cy+C2y2中含有两个独立 的任意常数C1和C2 二、分离变量法 定义2形如4y=(x)g(y)的方程,称为可分离 dx 变量的方程 可分离变量方程的特点:等式右边可以分解成两个函数之 积,其中一个只是x的函数,另一个只是y的函数
1 2 y , y 线性相关的充分必要条件是 2 1 y y 在( , ) a b 区间内 恒为常数．若 2 1 y y 不恒为常数，则 1 2 y , y 线性无关．当 1 y 与 2 y 线性无关，函数 1 1 2 2 y = C y +C y 中含有两个独立 的任意常数 C1和C2 ． 定义 2 形如 ( ) ( ) d d f x g y x y = 的方程，称为可分离 变量的方程. 可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数． 二、分离变量法
可分离变量方程的解法: (1)分离变量:将该方程化为等式一边只含变量y 而另一边只含变量x的形式,即 d 2)两边和()=f(x其中g(y)≠0 积分 d f(x)dx g(y) (3)计算上述不定积分,得通解
可分离变量方程的解法： （1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y ， 而另一边只含变量 x 的形式，即 f x x g y y ( )d ( ) d = 其中g( y) 0 （2）两边积分： f x x g y y ( )d ( ) d = （3）计算上述不定积分，得通解
例2求y+xy=0的通解 解方程变形为 d d 分离变量得 d xdx(y≠0) 两边积分得∫= xdx, 求积分得n|y=-x2+ 2 所以 ly=e 方程通解为y=Ce2(C为任意常数)
例2 求y'+xy = 0的通解． 解 方程变形为 xy x y = − d d , 分离变量得 x x y y d d = − (y 0 ), 两边积分得 = − x x y y d d , 求积分得 1 2 2 1 ln | y |= − x +C , 所以 2 1 1 2 2 1 2 1 | | e e e x C x C y − + − = = , 即 2 2 1 1 1 1 2 2 e e e ( e ) x x C C y C C − − = = = , 方程通解为 2 2 1 e x y C − = （ C 为任意常数）
例3设降落伞从跳伞塔下落,所受空气阻力与速度 成正比,降落伞离开塔顶(t=0)时的速度为零.求降落 伞下落速度与时间t的函数关系 解设降落伞下落速度为v(1)时伞所受空气阻力为 (负号表示阻力与运动方向相反,k为常数).另外 伞在下降过程中还受重力P=mg作用,故由牛顿第二定律 dv 得∥“且有初始条件:v=0=0于是,所给问题归 结为求解初值问题 dv mg dt 0=0
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度 成正比，降落伞离开塔顶(t = 0)时的速度为零．求降落 伞下落速度与时间 t 的函数关系. 解 设降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为 − kv（负号表示阻力与运动方向相反，k为常数）．另外， 伞在下降过程中还受重力P = mg作用，故由牛顿第二定律 得 mg kv t v m = − d d 且有初始条件：v | t=0= 0于是，所给问题归 结为求解初值问题 0 d , d | 0, t v m mg kv t v = = − =