模型4 SIR模型 消去d di Asi-ui σ= S ds as S=S ()=in,S(0) 相轨线 iS)=(SoTo s+—ln O S 相轨线i(S)的定义域 0 D={(s,)s≥0,≥0,s+i≤1} 在D内作相轨线i(s) D 的图形,进行分析
= = − = 0 0 1 1 i i ds s di s s 0 0 0 ln 1 ( ) ( ) s s i s s i s = + − + 模型4 = = = − = − 0 0 i(0) i , s(0) s si dt ds si i dt di = / 消去dt SIR模型 D ={(s,i)s 0, i 0, s + i 1} 相轨线 i(s) 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，进行分析i(s)
模型4相轨线i(s)及其分析 SIR模型 s)=(S0+i)-s+l n 0 S D (0)=i,S(0)=S0 s(单调减→相轨线的方向 S=1/σ,i=int→∞,li→>0 满足 ti.+hn oo=o 0 s so 1/o S 0 0 P:s>1/→i先升后降至口传染病蔓延 P2S0<1/→i)单调降至0 传染病不蔓延~阈 值
s i 1 0 1 D 模型4 SIR模型 相轨线 i(s) 及其分析 = = = − = − 0 0 i(0) i , s(0) s si dt ds si i dt di = = − = 0 0 1 1 i i ds s di s s 0 0 0 ln 1 ( ) ( ) s s i s s i s = + − + ln 0 1 0 0 + 0 − + = s s s s i s 满足 m s =1/, i = i 传染病蔓延 传染病不蔓延 s(t)单调减→相轨线的方向 t → , i → 0 P1 s 1/ 0 im s P1 : s0>1/ → i(t)先升后降至 0 P2 : s0<1/ → i(t)单调降至0 1/ ~阈 值 P3 P4 P2 S0
模型4预防传染病曼延的手段 SIR模型 传染病不蔓延的条件0<1 提高阈值1降低(=/)dx↓,p个 a(日接触率八→卫生水平个 (日治愈率)个→医疗水平个 降低s0 提高0口群体免疫 +b0+1 o的估计 n s In s+;-s+1mnSa=0忽略iσ O So S。-S
− − = s s s s 0 0 ln ln 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 (日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平 传染病不蔓延的条件——s0<1/ 的估计 ln 0 1 0 0 + 0 − + = s s s i s 0 忽略i • 降低 s0 提高 r0 1 s0 +i 0 + r0 = • 提高阈值 1/ 降低 (=/) , 群体免疫
模型4被传染人数的估计 SIR模型 记被传染人数比例x=Sn-S x +i.-st-ln 0 x+-ln(1--)=0 c0,Sa全1 x x )三0 x<<so S,o 2S50 X≈2SO(S 0 0S1/o °dx兰26提高阈值1/→降低 6小,S0G≈1 被传染人数比例x
模型4 SIR模型 被传染人数的估计 ln 0 1 0 0 + 0 − + = s s s i s 记被传染人数比例 = − x s s 0 ) 0 2 1 (1 2 0 0 − − s x s x ln(1 ) 0 1 0 + − s x x ) 1 2 ( 0 0 x s s − x 2 x<<s0 i 0 s 1/ P1 0 s s i0 0, s0 1 小, s0 1 提高阈值1/ →降低 被传染人数比例 x s0 - 1/ =
5.2经济增长模型 增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术 建立产值与资金、劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配,使投资效益最大 调节资金与劳动力的增长率,使经济(生产率)增长 1.道格拉斯( Douglas生产函数 产值资金K(0劳动力L0 Q(0 技术f0)=6 Q()=f0F(K(t),D()F为待定函数
5.2 经济增长模型 增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) ( ) ( ( ), ( )) 0 Q t = f F K t L t F为待定函数 资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0