模型2 1(1-1) LogistIc模型 (O)= i(t) 1+ =tn,lid最大 m~传染病高潮到来时刻t→>→i→1? (日接触率八→tn个病人可以治愈!
t e i i t − + − = 1 1 1 1 ( ) 0 = = − 0 (0) (1 ) i i i i dt di 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t = − − 1 1 ln 0 1 i t m tm~传染病高潮到来时刻 (日接触率) → tm t → i →1 Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大
模型3传染病无免疫性—病人治愈成 为健康人,健康人可再次被感染SS模型 增加假设3)病人每天治愈的比例为~日治愈率 建模M[i(t+△)-i()]=ANs(0)i(t)△t-NVi(t)△t di_ni( -l-llL 元~日接触率 dt i(o)=i 1/~感染期 σ=/a~一个感染期内每个病人的 有效接触人数,称为接触数
模型3 传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 增加假设 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率 建模 N[i(t + t) − i(t)] = Ns(t)i(t)t − Ni(t)t = / ~ 日接触率 1/ ~感染期 ~ 一个感染期内每个病人的 有效接触人数，称为接触数。 = = − − 0 (0) (1 ) i i i i i dt di
模型3 =i(1-1)-1na=M/ai didt ni-(1--) o>1 <1 dildo <o 1-1/G i(∞)= 接触数σ=1~阈值 O,a≤1≤1→i(t) 0> 小→()按形曲线增长感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数 模型2(S模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
− = 0, 1 , 1 1 1 ( ) i )] 1 [ (1 = −i i − − dt 模型 di 3 i0 i0 接触数 =1 ~ 阈值 = / 1 i(t) i(t)按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 0小 健康者人数不超过病人数 1 i 1-1/ i0 i i i dt di = (1− ) − 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 >1 0 t i >1 1-1/ i 0 t 1 di/dt < 0
模型4传染病有免疫性病人治愈 后即移出感染系统,称移出者 SIR模型 假设1)总人数N不变,病人、健康人和移 出者的比例分别为i(t),S(t),r(t) 2)病人的日接触率,日治愈率 接触数σ=4/ 建模S()+i(1)+r(t)=1 需建立i(t),S(t),r(t)的两个方程
模型4 传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t) 2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模 s(t) + i(t) + r(t) =1 需建立 i(t),s(t),r(t) 的两个方程
模型4 SIR模型 M(t+△)-i(t)=N(t)i(t)△t-1Ni(t)△t Ms(t+△)-S()=-AN(0)()△t ddd asi- ui 无法求出i(t),S(t) asi 的解析解 i(0)=0,s(0)=So 在相平面S~i上 研究解的性质 +Sn≈1(通常r(O)=r很小)
N[i(t + t) − i(t)] = Ns(t)i(t)t − Ni(t)t 模型4 SIR模型 i 0 + s0 1(通常r(0) = r0 很小） 无法求出 的解析解 i(t),s(t) 在相平面 上 研究解的性质 s ~ i N[s(t + t) − s(t)] = −Ns(t)i(t)t = = = − = − 0 0 i(0) i , s(0) s si dt ds si i dt di