8.2群的定义与性质 例8-3：设G={a,b,c,e},*为G上的二元运算， 满足下表。 光 e a b 则G是一个群，且满足： e a b (1)e是幺元； a b (2)G中任何元素的逆元就是 b e a b a e 它自己； (3)a,b,c三元素中，任何两个元素运算的结果都 等于另一个元素。 这样的群称为Klein四元群，简称四元群。 11/73
11/73 8.2 群的定义与性质 •例8-3：设G={a，b，c，e}， *为G上的二元运算， 满足下表。 则G是一个群，且满足： (1)e是幺元； (2)G中任何元素的逆元就是 它自己； (3)a，b，c三元素中，任何两个元素运算的结果都 等于另一个元素。 这样的群称为Klein四元群，简称四元群。 * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
8.2群的定义与性质 例8-4：设<G,>是一个独异点，并且每个元素都 有右逆元，证明<G,>为群。 证：设是<G,*>中的么元。每个元素都有右逆元， 即x∈G,3y∈G,使得x*y=e,对于y,又3z∈G, 使得y*z=e,而Vx∈G有x*e=e*x=x. 因此：z=e*z=x*y*z=x*e=x,即 x*y=e=y*z=y*x=e. 即y既是x的右逆元，又是x的左逆元，即Vx∈G均可逆， <G,*>为群。 1273
12/73 8.2 群的定义与性质 •例8-4：设<G,*>是一个独异点，并且每个元素都 有右逆元，证明<G,*>为群。 为群。 即 既是 的右逆元，又是 的左逆元，即 均可逆， 因此： ，即 使得 ，而 有 即 使得 ，对于 ，又 ， 证：设 是 中的幺元。每个元素都有右逆元， = = = = = = = = = = = = , . . , , , G y x x x G x y e y z y x e z e z x y z x e x y z e x G x e e x x x G y G x y e y z G e G
8.2群的定义与性质 •2.群的幂运算 对于群<G,*>中的任意元素a,可以类似半群一样来 定义它的幂： n=0 a”={a"-l*a n>0 (a)" n<0,n=-m 即在群中，可以定义负数次幂 定理8.4：对于群<G,>的任意元素a,b有： (1):(a)1=a,(2)(a*b)=b1*a1 (3):a”*am=a”+m,(4):(a")m=am(m,n∈Z) 13/73
13/73 8.2 群的定义与性质 • 2.群的幂运算 对于群<G,*>中的任意元素a，可以类似半群一样来 定义它的幂： 即在群中，可以定义负数次幂 •定理8.4：对于群<G,*>的任意元素a，b有： = − = = − − a n n m a a n e n a m n n ( ) 0, 0 0 1 1 (3): , (4):( ) ( , ) (1):( ) , (2)( ) 1 1 1 1 1 a a a a a m n Z a a a b b a n m n m n m n m = = = = + − − − − −
8.2群的定义与性质 证：(1)a*a1=a1*a=e∴.(a1)1=a (2)(a*b)*(b*a)=a*(b*b1)*a1=e (b1*al)*(a*b)=b*(a*a)*b=e ∴.(a*b)的逆元为b1*a,即(a*b)1=b1*a (3)当m,n≥0时：用归纳法（对m归纳） m=0时，a”*a°=a”*e=a”=a+0,显然成立 设m=时，有a”*a=am+k,则m=k+l时， a”*a+1=a”*(a“*a)=(a”*a)*a=a+k*a=a+k+ ∴.m.n≥0时，有a"*am=an+m 1473
14/73 8.2 群的定义与性质 n m n m n k n k n k n k n k n k n k n n n n m n a a a a a a a a a a a a a a m k a a a m k m a a a e a a m n m a b b a a b b a b a a b b a a b e a b b a a b b a e a a a a e a a + + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − − − − = = = = = = = = + = = = = = = = = = = = = 时，有 设 时，有 ，则 时， 时， ，显然成立 当 时：用归纳法 对 归纳 的逆元为 ，即 证： . 0 ( ) ( ) 1 0 (3) , 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8.2群的定义与性质 当n<0,m≥0时，令n=-t,则t>0a”*am=a'*am=(al)'*am a+m*a1*a*…*a1*a*a*…*q=a+m=a+m (t≥m) m个 m个 a1*a1*…*a*a*a*.…*g*am-f=am-=a”+m (t<m) 个 个 同理，其它情况均有a”*am=a+m (4)当m,n≥0时，由归纳法，易得(a”)m=a"m 当m<0时，令m=-t,则t>0 (a")"=(a")'=(a")y=(a*a*…*g)y=(a*al*…*a) n个 =(a1)”)'=(a)'=at=am 当n<0时，令n=-t,则t>0 (a”)m=(a)"=(a1))"=(a1)m=am=amm 15/73
15/73 8.2 群的定义与性质 n m t m t m t m t m m n n t n t n t m n t n t n n m n t n t n m n m n m n m m t m t n m t t t m n m m m t m n m t m t m a a a a a a n n t t a a a a a a a a a a a a a m m t t m n a a a a a a a a a a a a a a t m a a a a a a a a a t m n m n t t a a a a a a = = = = = = − = = = = = = = = = − = = = = = = = = − = = − − − − − − − − − − − − − + − − − − − + − + − − − − + + − − ( ) ( ) (( ) ) ( ) 0 0 (( ) ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) ( ) 0 0 (4) , 0 ( ) ( ) ( ) 0, 0 0 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 时，令 ，则 当 时，令 ，则 当 时，由归纳法，易得 同理，其它情况均有 当 时，令 ，则 个 个 个 个 个 个