第八章群论 在研究代数系统时，可以将结合律看成是代数系统 的基本性质，并且将具有相同性质的代数集中研 究，从而形成了很多特定的代数系统，如半群 群，环，域，格，布尔代数等等。 而群是最早被研究的代数系统，半群的概念则是群 的理论发展之后才引进的。 173
1/73 第八章 群论 在研究代数系统时，可以将结合律看成是代数系统 的基本性质，并且将具有相同性质的代数集中研 究，从而形成了很多特定的代数系统，如半群， 群，环，域，格，布尔代数等等。 而群是最早被研究的代数系统，半群的概念则是群 的理论发展之后才引进的
8.1半群 ·1.概念 定义8.1：设<S,>是代数系统，*是二元运算，如 ● 果*运算满定结合律，则称它为半解(Semi groups) 例：<N,+>,<Z,×>,<P(S),田>，<S,0>是半群<Z,->不是 半设【6】aRa0,则8，是 半群（矩阵乘法） a 证：对任意的 ∴.封闭，又矩阵乘法满足结合律，∴<S,*>是半群。 (2)<S,+>不是半群， 68〕08-8)不封闭 2/73
2/73 8.1 半群 • 1.概念 • 定义8.1：设<S,*>是代数系统，*是二元运算，如 果*运算满足结合律，则称它为半群(Semigroups) 例： • 例8-1：(1)设 ，则<S,*>是 半群(*矩阵乘法) N,+ ， Z, ， P(S), ， S S , 是半群 Z,− 不是 = | , , 0 0 0 a b R a a b S 不是半群， ，不封闭 封闭，又 矩阵乘法满足结合律， 是半群。 且 ， 证：对任意的 ，有 S a b a b b b S S S a a a b a a a a a b a b a b S a b S a b + = − + + = 0 0 0 0 0 0 0 (2) , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
8.1半群 •2.半群的幂运算 设x为半群<S,*>中的元素，x的n次幂定义如下： (1):x2=x(2)xm+1=x"*xn∈Z+ 由于半群满足结合律，所以可用归纳法证明 x"*x”=xm+”(x")”=xmm,如果x2=X,则称x是 <S,*>的幂等元。 ● 定理8.1：若<S,*>是半群，S是有限集合，则称S 中必含有幂等元。 3/73
3/73 8.1 半群 • 2.半群的幂运算 设x为半群<S,*>中的元素，x的n次幂定义如下： 由于半群满足结合律，所以可用归纳法证明 ，如果 ，则称x是 <S,*>的幂等元。 • 定理8.1：若<S,*>是半群，S是有限集合，则称S 中必含有幂等元。 + + x = x x = x x nZ 1 n 1 n (1): (2) m n m n m n mn x x = x x = x + ( ) x = x 2
8.1半群 证明：因为<S,*>是半群，则Va∈S,有a,a3,∈S 而S是有限集合，所以必有j>i,使得a=a'。 令p=j-i,则有a=a=aP*a, 所以：a9=aP*a9(g≥) 因为p≥1，所以存在k≥1，使得kp≥i,则 ap=aP*ap=aP*(aP*ap）=a2p*ap=…=a0*a0 即在S中存在元素b=α仰，使得b*b=b 4/73
4/73 8.1 半群 S b a b b b a a a a a a a a a a p k k p i a a a q i p j i a a a a S j i a a S a S a a S kp kp p kp p p kp p kp kp kp q p q i j p i i j = = = = = = = = = − = = = 即在 中存在元素 ，使得 因为 ，所以存在 ，使得 ，则 所以： 令 ，则有 而 是有限集合，所以必有 ，使得 。 证明：因为 是半群，则 ，有 2 2 3 ( ) 1 1 ( ) , ,* ,
8.1半群 •3.特殊半群 ·定义8.2：如果半群<S,*>中二元运算*是可交换的 则称<S,>是可交换半群；如：<Z,+>,<Z,X> P(S),①>可交换半群，<S,>不是。 定义8.3：含有关于*运算么元的半群<S,粉，称它 ● 为独异点(mono id),或含么半群，常记作<S,*,e> 例：？，+，0>，《Z,X,1>,<P(S),①，0>是独异点 <S,0,14>,<ZE×>不是。 >对于独异点，一般规定，a°=e(a∈S) 5/73
5/73 8.1 半群 • 3.特殊半群 •定义8.2：如果半群<S,*>中二元运算*是可交换的 ，则称<S,*>是可交换半群；如：<Z,+>，<Z,×> ，<P(S), >可交换半群， 不是。 •定义8.3：含有关于*运算幺元的半群<S,*>，称它 为独异点(monoid)，或含幺半群，常记作<S,*,e> 例： <Z,+,0>，<Z,×,1>，<P(S), , >是独异点 ， 不是。 ➢对于独异点，一般规定， , S S , , A , E , S S I Z ( ) 0 a = e aS