第一章矩阵及其应用 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数 学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分.在很多领域 中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算：可逆矩阵的计算；还将介绍矩阵的 初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习打下扎实的理论基础 一、 矩阵的概念 1.矩阵的引出 考察线性方程组 x-x32+2x3=1, 2x+3x2+x3=2 x-2x3-3x3=4 隐去未知量和等号，所有未知量的系数按原来位置排列成一矩阵列表 [1 -1 2 2 -2 -3 同理，未知数的系数与常数项也可以构成一矩形表格 1 -121 2 3 12 -2-34 这样的矩形数表在数学上就称为矩阵。 定义由m×n个数a=1,2,,mj=1,2,…,n)排成一个m个行n个列的矩 形数表 d a aun az an d2n am1anm2… 称为m×n矩阵或m行n列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵 的列，a(i=1,2,…,mj=1,2,…,n)称为矩阵的第i行第j列元或(6)元。 4
4 第一章 矩阵及其应用 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数 学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分.在很多领域 中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算；可逆矩阵的计算；还将介绍矩阵的 初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习打下扎实的理论基础 一、 矩阵的概念 1. 矩阵的引出 考察线性方程组 12 3 1 23 123 2 1, 2 3 2, 2 3 4. xx x x xx xxx ⎧ − + = ⎪ ⎨ + + = ⎪ ⎩ − − = 隐去未知量和等号，所有未知量的系数按原来位置排列成一矩阵列表 1 12 23 1 123 ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ 同理，未知数的系数与常数项也可以构成一矩形表格 1 121 23 12 1 2 34 ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ 这样的矩形数表在数学上就称为矩阵。 定义 由 m×n 个数 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i mj n = = " " 排成一个 m 个行 n 个列的矩 形数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn aa a aa a aa a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " ## # " 称为m n × 矩阵或 m 行 n 列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵 的列， ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i mj n = = " " 称为矩阵的第 i 行第 j 列元或( ) i j , 元
表示法： ①A、B、C、E;等； ②Amxn,B,X灯等； ③A=(a或A=(admn等。 2.几种特殊的矩阵 1)同型矩阵：行数相等且列数相等的两个矩阵。 1 2 14 3 例如： 6 与 8 4 为同型矩阵。 3 9 2) 相等矩阵：若两个矩阵A=(a)与B=(色)为同型矩阵，并且对应元素相等， 即a=b(=1,2,…,mj=1,2,…,n）,记作A=B。 例 设 46 己知A=B,求x,y, 解：A=B,∴x=2,y=3,2=2 3)方阵：行数与列数都等于n的矩阵A a11 a ain 412 2 a2n A= am an2 4)上、下三角矩阵 a a12 … a 0 … 0 0 a2 A= a2n az a22 0 ,A= : : 0 0 an2 … ann 主对角线、次对角线 5)对角矩阵 5
5 表示法： ① A、B、C、E；等； ② A m×n， B s ×r 等； ③ A=(aij) 或 A=(aij) m×n 等。 2. 几种特殊的矩阵 1) 同型矩阵：行数相等且列数相等的两个矩阵。 例如： 1 2 14 3 56 8 4 37 3 9 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 与 为同型矩阵。 2) 相等矩阵：若两个矩阵 A = = (a Bb ij ij )与 为同型矩阵 ( ) ,并且对应元素相等, 即a b i mj n ij ij == = ( 1, 2, , ; 1, 2, , " " )，记作 A B = 。 例 设 123 1 3 , , 312 1 x A B y z ⎛⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ 已知 求 A = B xyz , , ,. 解：∵ A B = , ∴xyz = == 2, 3, 2. 3) 方阵：行数与列数都等于n 的矩阵 A 11 12 1 12 22 2 1 2 . n n n n nn aa a aa a aa a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " ## # " A 4) 上、下三角矩阵 11 12 1 11 22 2 21 22 1 2 0 0 0 0 , , 0 0 n n nn n n nn aa a a a a aa a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦⎣ ⎦ " " " " ## # ## # " " A A 主对角线、次对角线 5) 对角矩阵
0 0 0 0 A= 0 0 6)单位矩阵 「1 0… 0 0 1 0 E= 0 0. 7)行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵。 A=(a11,412,…,a1n) 8)列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵。 「6， B= ba LbmJ 9)零矩阵：元素全为零的矩阵。 「0 0 0 0 0 0 0= 10 0… 0 注意：不同阶数的零矩阵是不同的， 矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们可以通 过研究数值表的规律和特性来解决实际问题！ 例四个城市间的单向航线如下图所示 2 若令 1 从i市到j市有一条单向航线： a=0 从i市到了市没有单向航线。 则图中的航线用矩阵表示为 6
6 1 2 0 0 0 0 . 0 0 n λ λ λ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " Λ 6) 单位矩阵 10 0 01 0 . 00 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " E 7) 行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵。 11 12 1 ( , , , ). n A = aa a " 8) 列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵。 11 21 1 . m b b b ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ # B 9) 零矩阵：元素全为零的矩阵。 00 0 00 0 . 00 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " O 注意：不同阶数的零矩阵是不同的. 矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们可以通 过研究数值表的规律和特性来解决实际问题！ 例 四个城市间的单向航线如下图所示 1 3 4 2 若令 从 i 市到 j 市有一条单向航线； 从 i 市到 j 市没有单向航线。 则图中的航线用矩阵表示为 1 0 ij a ⎧ = ⎨ ⎩
「0111 1000 4= 0100 1 010 例 线性变换：设n个变量x,x2,…,xn与m个变量，乃2，，ym之间的关系式为 y=a+ax2+...+ainxn, y=a+a++aznx ym =am+am2x2++amnxn 其中a,为常数 这个关系称为从变量x,x,…,xn到变量，2，…，y的线性变换。 %11 a12 ain a21 A= a22 d2n 系数矩阵 … am am2 d 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。 若线性变换为 片=X, y2=x2, yn=xn 称之为恒等变换。 片=为， 10… 0 y32=X2, 对 应 0 1… 0 单位矩阵。 yn =xn 0 0… 二、 矩阵的计算 1.矩阵的加法 1)定义 个
7 0111 1000 . 0100 1010 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 例 线性变换： 12 12 ,,, ,,, n m 设 个变量 与 个变量 之 间的关系式为 n xx x m yy y " " 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 11 2 2 , , . n n n n m m m mn n y ax ax ax y ax ax ax y ax ax ax ⎧ = + ++ ⎪ ⎪ = + ++ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = + ++ " " """"""""" " . ij 其中 为常数 a 这个关系称为 12 12 ,,, ,,, n m 从变量 到变量 的线性变换 x x x yy y " " 。 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " """ " 系数矩阵 若线性变换为 1 1 2 2 , , n n y x y x y x ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ = """ 称之为恒等变换。 1 1 2 2 , , n n y x y x y x ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = """ 10 0 01 0 00 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " """" " 单位矩阵。 二、 矩阵的计算 1. 矩阵的加法 1) 定义 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。 对 应
定义两个m×n矩阵A=(a),B=(b),那末矩阵A与B的和记作A+B, 规定为 A+B=(ag +by)mxm a1+b1a2+b2 …an+bn a21+b21a22+b22 …an+b2n … … am+bm am2 +bm2 … amn+bun 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 (12 3 5 189 例 计算 1 -9 0 3 6 8 32 12 3 12+13+8 -5+9 (13 114 解 -9 0 1+6 -9+5 0+4 -44 6 3+36+2 8+1 6 89 2)矩阵加法的运算规律 (1)A+B=B+4. (2)(A+B)+C=A+(B+C) -a11 -412… -ain (3)-A= -a2 -a22 -02m =（-a),称为矩阵的负矩阵。 -am -0m2 -am (4)A+(-A)=0,A-B=A+(-B)。 2.矩阵的数乘 1)定义 定义数与矩阵的乘积，记作1A或A入，规定为 2a11 2a2 元am λA=A2= 1a21 1a22 12m … Aam Aam2 … aamn 8
8 定义 两个m n × 矩阵 ( ), A ij = a ( ), B ij = b 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A+B， 规定为 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 11 2 2 ( ) . ij ij m n n n n n m m m m mn mn AB a b ab ab ab ab ab ab abab ab += + × ⎛ ⎞ ++ + ⎜ ⎟ ++ + = ⎝ ⎠ ++ + " " " """ " 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 例 计算 12 3 5 1 8 9 1 9 0 654 3 6 8 321 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 解 12 3 5 1 8 9 1 9 0 654 3 6 8 321 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 12 1 3 8 5 9 16 95 04 33 6 2 81 ⎛ ⎞ + + −+ ⎜ ⎟ = + −+ + ⎝ ⎠ ++ + 13 11 4 7 44 6 89 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2) 矩阵加法的运算规律 ( ) 1 ; A+=+ BBA ( )( ) ( ) 2 . A+ +=+ + B C A BC ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 3 n n m m mn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ −− − ⎜ ⎟ −− − − = ⎝ ⎠ −− − " " " """ " ( ), ij = −a 称为矩阵 的负矩阵。 A () ( ) 4 0, A+− = − = +− A AB A B ( )。 2. 矩阵的数乘 1) 定义 定义 数λ与矩阵的乘积,记作λA 或 Aλ，规定为 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n m m mn aa a aa a A A aa a λλ λ λλ λ λ λ λλ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ " " " """