8.2群的定义与性质 3.群的性质 ·定理8.5：设<G,*>为群，则 (1):方程a*x=b,y*a=b在G中有解且有唯一解； (2):当G≠{e时，无零元； (3):G中所有元素都是可约的，即Va,x,y∈G,有 a*x=a*y=>x=y,x*a=y*a=>x=y; (4):运算表中任意一行（列）都没有两个相同的元素； (5):群G中除么元e外无其它幂等元。 16/73
16/73 8.2 群的定义与性质 • 3.群的性质 •定理8.5：设<G,*>为群，则 (1):方程a*x=b，y*a=b在G中有解且有唯一解； (2):当 时，无零元； (3):G中所有元素都是可约的，即 ，有 a*x=a*y=>x=y，x*a=y*a=>x=y； (4):运算表中任意一行(列)都没有两个相同的元素； (5):群G中除幺元e外无其它幂等元。 G {e} a, x, y G
8.2群的定义与性质 证：(1)先证a1*b是方程a*x=b的解：代入，则 a*(a*b)=(a*a1)*b=b, 再证唯一性：设c为方程a*x=b的解，即a*c=b,则 c=e*c=(a*a)*c=a*(a*c)=a-*b 同理b*a是方程y*a=b的唯一解 (2)若G有零元，且G≠{，则|G≥2，由定理7.5，知零元无逆元 与G为群矛盾 (3)x=e*x=(a*a)*x=a*(a*x)=a*(a*y)=(a*a)*y=e*y (4)反证法：设某一行有两个相同元素，设为a,行的表头为b, 列的表头分别为c,c2,显然c≠c2,而a=bC=bc2→C1=c2,矛盾 (⑤)反证法：设a是G中非么的幂等元，即a*a=a,且a≠e,因此 a*a=a*e,由(3)得a=e,矛盾 1773
17/73 8.2 群的定义与性质 ，由 得 ，矛盾 反证法：设 是 中非幺的幂等元，即 ，且 ，因此 列的表头分别为 ，显然 ，而 ，矛盾 反证法：设某一行有两个相同元素，设为 ，行的表头为 ， 与 为群矛盾 若 有零元，且 ，则 ，由定理 ，知零元无逆元 同理 是方程 的唯一解 再证唯一性：设 为方程 的解，即 ，则 证： 先证 是方程 的解：代入，则 a a a e a e a a a a a e c c c c a bc bc c c a b x e x a a x a a x a a y a a y e y G G e G b a y a b c e c a a c a a c a b c a x b a c b a a b a a b b a b a x b = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = − − − − − − − − − − − (3) (5) G , (4) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) G { } | | 2 7.5 * ( ) ( ) ( ) ( ) , (1) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8.2群的定义与性质 定义8.6：若群G为有限集合，则称G为有限群 (Finite Group),否则称为无限群(Infinite Group),群G的基数称为群的阶(Order) 由定理8.5知：G为有限群时，*运算的运算表中每一 行（列）都是G中元素的一个全排列，因此，当G分 别为1,2,3阶群时，*运算都只有一种定义方式： 如下 头 光 e e a 光 e a b e e e e a e e a b a a e a a b e b b e a 18/73
18/73 8.2 群的定义与性质 •定义8.6：若群G为有限集合，则称G为有限群 (Finite Group)，否则称为无限群(Infinite Group)，群G的基数称为群的阶(Order)。 由定理8.5知：G为有限群时，*运算的运算表中每一 行(列)都是G中元素的一个全排列，因此，当G分 别为1,2,3阶群时，*运算都只有一种定义方式： 如下 * e e e * e a e e a a a e * e a b e e a b a a b e b b e a
8.2群的定义与性质 ●4.元素的阶及性质 定义8.7：设<G,>为群，a∈G,满足等式a”=e ● 的最小正整数n称为a的阶(0rder)或周期，记作 |a=n,若不存在这样的正整数n, 称a是无限阶。 例：（)任何群G的么元e的阶为1，且只有幺元的阶 为1； (2)<Z,+>中幺元0的阶为1，其它整数均为无限阶元 (3)<Z4,+4>中[1]的阶为4，[2]的阶为2，[3]的阶 为4。 定理8.6：有限群G的每个元素都有有限阶，且其 阶数不超过群G的阶数G。 19/73
19/73 8.2 群的定义与性质 •4.元素的阶及性质 •定义8.7：设<G,*>为群， ，满足等式 的最小正整数n称为a的阶(Order)或周期，记作 |a|=n，若不存在这样的正整数n，称a是无限阶。 例：(1)任何群G的幺元e的阶为1，且只有幺元的阶 为1； (2)<Z,+>中幺元0的阶为1，其它整数均为无限阶元 (3) 中[1]的阶为4，[2]的阶为2，[3]的阶 为4。 • 定理8.6：有限群G的每个元素都有有限阶，且其 阶数不超过群G的阶数|G|。 aG a e n = Z4 ,+4
8.2群的定义与性质 证：设a为G的任一元素，考虑e=a°，d,a2,…,a这G+1个 G中的元素，由于G中只有G个元素，由鸽巢原理 它们中至少有2个是同一元素，不妨设：a=a(0≤s<t≤G) 于是as=e,因此a有有限阶，且阶数是t-s,且不超过|G引 ● 定理8.7：设<G,*>为群，a∈G,且|a=r,设k为整 数，则 (1)a=e当且仅当rk (2)aal 20/73
20/73 8.2 群的定义与性质 •定理8.7：设<G,*>为群， ，设k为整 数，则 (1) (2) | | . 2 (0 | |) | | , , , , | | 1 0 1 2 | | a e a t s G a a s t G G G G a G e a a a a G t s s t G 于是 ，因此 有有限阶，且阶数是 ，且不超过 它们中至少有 个是同一元素，不妨设： 中的元素，由于 中只有 个元素，由鸽巢原理， 证：设 为 的任一元素，考虑 这 个 = − = = + − aG，且| a |= r a e r k k = 当且仅当 | | | | | 1 a = a −