第七章代数系统 7.1:代数运算的概念 ·定义7.1：设A是集合，函数f:A”→A称为集合A上 的n元代数运算，整数n称为运算的阶(Order)。 当n=1时，f:A→A称为集合A的一元运算； 当n=2时，f:AXA→A称为集合A中的二元运算。 >(1)一般，二元运算用算符o,*,●，等符号，用中缀 方式表示：f(<4,a2>)=43→(<a1,42>)=a3→41a42=4 >(2)ran∫二A,即运算结果是A中的元素，称为运 算的封闭性； >(3)运算是函数，每一个自变元只有唯一的一个像。 273
2/73 第七章 代数系统 7.1：代数运算的概念 • 定义7.1：设A是集合，函数 称为集合A上 的n元代数运算，整数n称为运算的阶(Order)。 当n=1时，f:A→A称为集合A的一元运算； 当n=2时，f:A×A→A称为集合A中的二元运算。 ➢(1)一般，二元运算用算符 等符号，用中缀 方式表示： ➢(2) ，即运算结果是A中的元素，称为运 算的封闭性； ➢(3)运算是函数，每一个自变元只有唯一的一个像。 f A A : n → , , • , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 f ( a ,a ) = a ( a ,a ) = a a a = a ran f A
7.1代数运算的概念 ·例7-1： (1).f:Z→Z,x∈Z,f(x)=-x; (2).A={0,1,f:A>A,Vp∈A,f(p)=p, 1 (3)f:R→R,x∈R,f(x)= X (4)f:Z×Z→Z,V<x,y>∈Z2,f(<x,y>)=x+y\x-y\x×y; (5).P(A)为A的幂集。f:P(A)×P(A)→P(A),f可为U,∩，-，⊕， (6).A={0,1},f:A×A→A,f可为：Λ，V,→，> (7)A4={f|f:A→A.(A上所有函数的集合) >(4)当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。 3/73
3/73 7.1 代数运算的概念 •例7-1： ➢(4)当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。 (7). { | : }.( ) (6). {0,1} , : , : , , , ; (5). ( ) A : ( ) ( ) ( ), , , , ; (4). : , , , ( , ) \ \ ; ; 1 (3). : , , ( ) (2). {0,1} , : , , ( ) ; (1). : , , ( ) ; 2 上所有函数的集合 可为 为 的幂集。 可为 A f f A A A A f A A A f P A f P A P A P A f f Z Z Z x y Z f x y x y x y x y x f R R x R f x A f A A p A f p p f Z Z x Z f x x A = → = → → → − → = + − → = = → = → = − + + +
7.2代数运算的性质 ·定义7.2：设*，o均为集合S上二元运算， (I):若xyz(x,y,z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z),则称“*”运算 满足结合律； (2):若xy(x,y∈S→x*y=y*x),则称“*”运算满足交换律； (3):若xyz(x,y,z∈S→x*(yoz)=(x*y)o(x*z),则称 “*” 运算对“。”运算满足左分配律；若Vxyz(x,y,z∈S→ (yoz)*x=(y*x)o(z*x),则称“*”运算对“。”运算满足右 分配律；若二者均成立，则称“*”运算对“。”运算满足分配律； (4):设*，o均可交换，若Vxy∈A,有x*(xoy)=x,xo(x*y)=x,则称“*” 和“。”运算满足吸收律； (5):若Vx(x∈A,x*X=x),则称“*”运算满足幂等律。 4/73
4/73 7.2 代数运算的性质 •定义7.2：设 , 均为集合S上二元运算， 若 ，则称“ ”运算满足幂等律。 和“ ”运算满足吸收律； 设 ，均可交换，若 有 则称“ ” 分配律；若二者均成立，则称“ ”运算对“ ”运算满足分配律； ，则称“ ”运算对“ ”运算满足右 运算对“ ”运算满足左分配律；若 若 ，则称“ ” 若 ，则称“ ”运算满足交换律； 满足结合律； 若 ，则称“ ”运算 = = = = → → = → = → = (5): ( , ) (4): , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )) ( , , (3): ( , , ( ) ( ) ( )) (2): ( , ) (1): ( , , ( ) ( ) ) x x A x x x x y A x x y x x x y x y z x y x z x x y z x y z S x y z x y z S x y z x y x z x y x y S x y y x x y z x y z S x y z x y z
7.2代数运算的性质 例7-2：(1)Z上的加，减，乘法是二元运算，且加 法，乘法：结合律，交换律， 乘法对加法，减法 满足分配律，反之不满足； (2)A的幂集P(A)上的二元运算：U,∩满足交换律 ,结合律，吸收律，幂等律，且彼此之间满足分 配律； (3)设A={a,b},A上的运算“*”和“o”满足如下 运算表： 光 a b 0 a b a a b a a a b b a a b 5/73
5/73 7.2 代数运算的性质 •例7-2：(1)Z上的加，减，乘法是二元运算，且加 法，乘法：结合律，交换律，乘法对加法，减法 满足分配律，反之不满足； (2)A的幂集P(A)上的二元运算：∪，∩满足交换律 ，结合律，吸收律，幂等律，且彼此之间满足分 配律； (3)设A={a，b}，A上的运算“*”和“ο”满足如下 运算表： * a b a a b b b a ο a b a a a b a b
7.2代数运算的性质 解：由运算表知：)，*，o是可交换的； ii),*,o是可结合的； iii),0对*是可分配的； iv),*对o不可分配； V),*,o满足吸收律。 6/73
6/73 7.2 代数运算的性质 解：由运算表知：i)， * ，ο是可交换的； ii)， * ，ο是可结合的； iii)， ο对*是可分配的； iv)， *对ο不可分配； v)， * ，ο满足吸收律