8.1半群 定义8.4：（1)设<S,*>为一半群，若TS,*在T 中封闭，则<T,>称为子半群；(2)设<S,*,e>为一 独异点，若TsS,*在T中封闭，且幺元e∈T, 则<T,米，e>称为子独异点。 6/73
6/73 8.1 半群 •定义8.4：(1)设<S,*>为一半群，若 ， *在T 中封闭，则<T,*>称为子半群；(2)设<S,*,e>为一 独异点，若 ， *在T中封闭，且幺元 ， 则<T,*,e>称为子独异点。 T S T S eT
8.1半群 •4.性质 定理8.2：一个有限独异点，<S,*,e>的运算表中 不会有任何两行或两列元素相同。 证明：Va,b∈S,且a≠b时，有： e*a=a≠b=e*b和a*e=a≠b=b*e .命题成立 但这个性质对有限半群不一定成立。 ·例8-2：(1)S={a,b,c},*运算的定义如表，判 断<S,*>的代数结构； a D (2)判断<Z4,+4>的代数结构。 a a b C b a b c a b C 773
7/73 8.1 半群 • 4.性质 •定理8.2：一个有限独异点，<S,*,e>的运算表中 不会有任何两行或两列元素相同。 •例8-2：(1)S={a，b，c}， *运算的定义如表，判 断<S,*>的代数结构； (2)判断 的代数结构。 但这个性质对有限半群不一定成立。 命题成立 和 证明： ，且 时，有： = = = = e a a b e b a e a b b e a,b S a b Z4 ,+4 * a b c a a b c b a b c c a b c
8.1半群 解：(I),i):封闭性：xy∈S,x*y∈S；ii):可结合： Vx,y,z∈S,有X*(y*z)=x*z=2,(x*y)*z=y*2=z ∴.<S,*>是半群，α，b,c均有左么元，该表中任何两行元素相同 ∴.<S,*>不是独异点 十4 [0] [ [2] [3 (2),i):封闭性：（画表）， [O] [0] [1] [2] [3] [1 [1] [2] [3] [0] i):可结合性：有的定义可知， [2] [2] [3] [0] [1] iii):么元：[0]， [3] [3] [0] [1] [2] 表中没有人员两行或两列元素完全相同。 8/73
8/73 8.1 半群 不是独异点 是半群， 均有左幺元，该表中任何两行元素相同 ，有 解： ：封闭性： ； ：可结合： = = = = ,* ,* , , , , ( ) ,( ) (1), ) , , ii) S S a b c x y z S x y z x z z x y z y z z i x y S x y S (2),i)：封闭性：(画表)， ii)：可结合性：有的定义可知， iii)：幺元：[0], 表中没有人员两行或两列元素完全相同。 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] +4
8.1半群 定理8.3：设<S,>,<T,o>是半群，f为S到T的同 态，这时称f为半群同态，对半群同态，有(1)： 同态像<f(S),o>为一半群；(2)：当<S,*>为独异 点时，则<f(S),o>为一独异点。 证：由7.10,7.11可得。 9/73
9/73 8.1 半群 •定理8.3：设<S,*>，<T,ο>是半群，f为S到T的同 态，这时称f为半群同态，对半群同态，有(1)： 同态像<f(S),ο>为一半群；(2)：当<S,*>为独异 点时，则<f(S),ο>为一独异点。 证：由7.10，7.11可得
8.2群的定义与性质 ·1.概念 独异点中含有幺元，可以考虑其中每个元素是否有 逆元，由此引出一个特殊的独异点，即群的概念 定义8.5：如果代数系统<G,>满足：(1)<G,*>为 一半群；(2）<G,粉中有幺元；(3)<G,粉中每个 元素x∈G均有逆元x1;则称代数系统<G,*>为群 (Groups)。 >群：每个元素都可逆的独异点，常用G表示；封闭 可结合，含么元，元素可逆。 例：<Z,+,>,<Q,×>,<P(A),田>(A≠D)为群： <Z,×>,<Q,×>,<P(A),U>(A≠0)不是。 10/73
10/73 8.2 群的定义与性质 • 1.概念 独异点中含有幺元，可以考虑其中每个元素是否有 逆元，由此引出一个特殊的独异点，即群的概念 • 定义8.5：如果代数系统<G,*>满足：(1) <G,*>为 一半群；(2) <G,*>中有幺元；(3) <G,*>中每个 元素 均有逆元 ；则称代数系统<G,*>为群 (Groups)。 ➢群：每个元素都可逆的独异点，常用G表示；封闭 ，可结合，含幺元，元素可逆。 例： xG −1 x ， ， 不是。 ， ， 为群； , , , ( ), ( ) , , , ( ), ( ) + + Z Q P A A Z Q P A A