矩阵的条件数 用 MATLAB验证 A 21.0001 的条件数 与下面的方程组进行比较: 用 0.999 1.001 来验证其对误差的鲁棒性( Robustness) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲6
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-6 矩阵的条件数 用MATLAB验证 的条件数 与下面的方程组进行比较： 用 来验证其对误差的鲁棒性（Robustness） 2 1 2 1.0001 A = 1 2 1 2 7 2 1 1 x x = − − 1 2 1 2 7 2 0.999 1.001 x x = − −
矩阵的条件数 精度分析 检验Ax=b解的精度的一般方法,或者用迭代法进行数值求解时,使 迭代终止条件,是将x代回原方程组计算残差向量 6-ax 对良态方程组,如果很小,一般可认为解是好的,或迭代可以中 止,但对病态方正组,这结论不成立。例如,以 作为 21.0001八(x,(50001 解,则 0)但上解与其准确解(x 相差甚远 0.0003 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲7
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-7 矩阵的条件数 – 精度分析 检验Ax = b解的精度的一般方法，或者用迭代法进行数值求解时，使 迭代终止条件，是将x代回原方程组计算残差向量 对良态方程组，如果 很小，一般可认为解是好的，或迭代可以中 止，但对病态方正组，这一结论不成立。例如，以 作为 解，则 但上解与其准确解 相差甚远 1 2 3.5 2 x x = − 1 2 2 1 5 2 1.0001 5.0001 x x = 0 0.0003 r = 1 2 2 1 x x = = −b Ax
矩阵的条件数 先分析方程组Ax=b中只有b有扰动δ的情况。设由δb引起的解x的 扰动为δx,则(设A∈Cn) 0)一x=b Sx=A S6 由相容性条件 b=4xsAx→|≥ A|b61||5b 4 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲8
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-8 矩阵的条件数 – 先分析方程组Ax = b中只有b有扰动 的情况。设由 引起的解x的 扰动为 ，则（设 ） 由相容性条件： x A x x b b ( ) + = + Ax b = A x b = n n A Cn 1 x A b − = 1 x A b b Ax A x − = b x A 1 1 1 x b A b A b A A x x b b A − − − =b b
矩阵的条件数 再分析方程组Ax=b中只有A有扰动δA的情况。设由A引起的解X日 扰动为δx,则(设A∈Cn) (+60+112=1(+) Sx=-A SA(x+sx) x51154(x+15xD 1--140,1x1|4 当A464<1时 A4|6A A δA 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲9
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-9 矩阵的条件数 – 再分析方程组Ax = b中只有A有扰动 的情况。设由 引起的解x的 扰动为 ，则（设 ） 当 时 x ( )( ) A A x x b + + = Ax b = A x A x x = − + ( ) n n A Cn 1 x A A x x ( ) − = − + A A 1 x A A x x ( ) − + 1 1 (1 ) A A x A A x − − − 1 A A 1 − 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) x A A A A A x A A A A A A A − − − − = − −
矩阵的条件数 当A与b二者均有扰动时,由于Ax=b的线性特性,其扰动结果为二者 扰动之和 Aibl δb δb x A-|)S AA (1-4164) 1-14 注意到当N64<1时 A 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8计-10
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-10 矩阵的条件数 – 当A与b二者均有扰动时，由于Ax = b的线性特性，其扰动结果为二者 扰动之和 注意到当 时 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) x A A A A A x A A A A A A A − − − − = − − 1 1 1 x b A b A b A A x x b b A − − − = 1 A A 1 − 1 1 1 1 1 1 1 A A A A A A A A A A A A − − − − − = − −