给定的正数E,不论x取(-∞,+o)上什么值,都有 SInn N=-,当n>N时,恒有 <E,所以函数列 n SInr 在(-∞,+∞)上一致收敛于f(x)=0 函数列{n}在D上不一致收敛于∫的正面陈述是: 存在某正数E,对任何正数N,都有某一点x0∈D和 某一正整数m>N注意x0与m1的取值与N有关), 使得 前页)后页)返回
前页 后页 返回 给定的 正数 , 不论 x 取 (- ,+ ) 上什么值, 都有 N = 1 当 时 恒有 n N , sinnx n , , 所以函数列 sin ( ) 0 nx f x n = 在(- ,+ )上一致收敛于 . 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: n 函数列 f 存在某正数 0 , 对任何正数 N, 都有某一点 0 x D 和 0 0 某一正整数 n N 0 ( 注意: x n 与 的取值与 N 有关 ), 使得
fn(x)-f(x)≥60 由例1中知道,{x在,1)上不可能一致收敛于0 下面来证明这个结论 事实上,若取6=,对任何正整数N≥2,取正整 2 数n=N及x=(1Ny)∈0.D就有 0|=1 0 N 2 前页)后页)返回
前页 后页 返回 0 0 0 0 ( ) ( ) . n f x f x − (0, 1) 0. n 由例1 中知道, x 在 上不可能一致收敛于 下面来证明这个结论. 事实上, 若取 0 1 , 2, 2 = 对任何正整数 N 取正整 1 0 0 1 1 (0, 1), N n N x N = = − 数 及 就有 0 0 1 1 0 1 . 2 n x N − = −
函数列{G}一致收敛于f的几何意义:如图所示, VE>0,N>0,对于序 号大于N的所有曲线 y=f(x)+8 y=f(r) y=f,(r) y=f,(x)(n>N), y=f(x)-E 都落在曲线y=∫(x)+E 与y=f(x)-E所夹的带 图13 状区域之内 前页)后页)返回
前页 后页 返回 函数列 f f n 一致收敛于 的几何意义:如图所示, 号大于 N 的所有曲线 都落在曲线 y f x = + ( ) 与 y f x = − ( ) 所夹的带 状区域之内. ( ) ( ), n y f x n N = 0 0, , N 对于序 O y x y f x = ( ) ( ) n y f x = a b y f x = − ( ) y f x = + ( ) 图 13-1
函数列{x"}在区间(0,1)上 不一致收敛,从几何意义上 看,就是存在某个预先给定 的(<1),无论N多么大, 总存在某条曲线 8 1 X y=x"(n>N), E 不能全部落在由y=E与 图13-2 y=-E夹成的带状区域内(图13-2)若函数列{x"} 只限于在区间[0,b](b<1)上,则容易看到,只要 前页)后页)返回
前页 后页 返回 { } (0, 1) n 函数列 x 在区间 上 不一致收敛, 从几何意义上 看, 就是存在某个预先给定 的 (<1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线 ( ), n y x n N = 只限于在区间 0, ( 1) b b 上, 则容易看到, 只要 1 x y O x 2 x 图 13 2 − 1 1 3 x − 不能全部落在由 y = 与 y = − 夹成的带状区域内(图13-2). { }n 若函数列 x
1n(其中0<6<1,曲线y=x2就全部落在 In b y=a和y=-6所夹成的带状区域内,所以{x在 [0,b]上是一致收敛的 定理131(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{fn} 在数集D上一致收敛的充要条件是对任给正数E, 总存在正数N,使当n,m>N,对一切x∈D,都有 If,(x)-f(x)k8 证必要性设∫(x)3f(x)(n→∞),x∈D,即对 前页)后页)返回
前页 后页 返回 ln ( 0 1), ln n b 其中 n 曲线 y x = 就全部落在 y = 和 y = − 所夹成的带状区域内，所以 n x 在 0, b 上是一致收敛的. 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { }n f 在数集 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 n m N , , 对一切 x D , 都有 | ( ) ( ) | . (4) n m f x f x − ( ) ( ) ( ), n 证 必要性 设 f x f x n x D → → → ， 即对