任给E>0,存在正数N,使得当n>N时,对一切 x∈D,都有 fn(x)-∫(x)k。 (5) 2 于是当n,m>N,由(5)得 f,(x)-fmn(x)slf,(x)-f(x)+f(x)-fmn(x) <一 。 22 充分性若条件(4)成立,由数列收敛的柯西准则, }在D上任一点都收敛,记其极限函数为f(x) 前页)后页)返回
前页 后页 返回 任给 >0, 存在正数N, 使得当 n N 时, 对一切 x D , 都有 | ( ) ( ) | . (5) 2 n f x f x − 于是当 ,由(5)得 n m N , | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | n m n m f x f x f x f x f x f x − − + − . 2 2 + = 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则, { } 在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f x( ), n f
x∈D.现固定(4)式中的n,让m→>∞,于是当n>N时, 对一切x∈D都有|fn(x)-f(x)e由定义1知, fn(x)之f(x)(n>∞),x∈D 根据一致收敛定义可推出下述定理: 定理132(余项准则)函数列G在区间D上一致 收敛于f的充分必要条件是: limsuplf,(x)-f(x=0. n→ x∈D 证必要性若fn(x)+f(x)(m→>∞,x∈D.则对 任给的正数,存在不依赖于x的正整数N,当 前页)后页)返回
前页 后页 返回 x D n m n N → . (4) , , , 现固定 式中的 让 于是当 时 对一切x D 都有| ( ) ( ) | . n f x f x − 由定义1知, 根据一致收敛定义可推出下述定理: 定理13.2（余项准则） { }n 函数列 f D 在区间 上一致 收敛于 f 的充分必要条件是: limsup | ( ) ( ) | 0. (6) n n x D f x f x → − = 任给的正数 , 存在不依赖于 x 的正整数 N , 当 ( ) ( ) ( ), . n f x f x n x D → → → 证 必要性 ( ) ( ) ( ), . n 若 f x f x n x D → → → 则对