当x=0和x=1时,则对任何正整数n,都有 lfn(0)-f(0)=0<E, lfn(1)-f(1)|=0<E 这就证明了}在(-1,1上收敛,且极限就是(3) 式所表示的函数 又当|x1时,有|xP→>+0(n→>∞),当x=-1时, 对应的数列为-1,1,-1,1…,显然是发散的所以 函数列{x"}在区间(-1,外都是发散的.故所讨论 的函数列的收敛域是(-1,1 前页)后页)返回
前页 后页 返回 当 和 时 则对任何正整数 都有 x x n = = 0 1 , , | (0) (0) | 0 n f f − = ， | (1) (1) | 0 . n f f − = 式所表示的函数. | | 1 | | ( ), n 又 当 时, 有 x x n → + → 当 时 x = −1 , 对应的数列为− − 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以 { }n 函数列 x 在区间 ( 1, 1] − 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 ( 1, 1]. − 这就证明了 { } f n 在( , 1] −1 上收敛, 且极限就是(3)
例2定义在(-,+∞)上的函数列f(x)=x t 由于对任何实数x,都有 SInn n 故对任给的E>0,只要n>N=,就有 SInn 0 前页)后页)返回
前页 后页 返回 例2 sin ( , ) ( ) , n nx f x n 定义在 上的函数列 − + = n = 1,2, . sin 1 , nx n n 1 0, , n N 故对任给的 只要 就有 = sin 0 . nx n − 由于对任何实数 都有 x
所以函数列{sinx/n}的收敛域为(-∞,+∞),极限 函数为f(x)=0 注对于函数列,仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的,重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系.例如,能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性;或极限函数的导数或积分,是否分别是函数列 每项导数或积分的极限对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行 前页)后页)返回
前页 后页 返回 所以函数列 sin ( , ), nx n的收敛域为 − + 极限 函数为 f x( ) 0. = 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行
定义1设函数列{fn}与函数∫定义在同一数集D 上,若对任给的正数6,总存在某一正整数N,使当 n>N时,对一切x∈D,都有 f∫n(x)-f(x)kE, 则称函数列{}在D上一致收敛于∫,记作 f(x)∫(x)(n>∞),x∈D 由定义看到,一致收敛就是对D上任何一点,函数列 趋于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现 前四后巡回
前页 后页 返回 设函数列{ }n 定义1 f f 与函数 定义在同一 数集 D 上， 若对任给的正数 总存在某一正整数 , , N 使当 n N 时， 对一切 都有 x D , | ( ) ( ) | n f x f x − ， { }n 则称函数列 在 上一致收敛于 ,记作 f D f → f x f x n x D n ( ) ( )( ) , . → → 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
为:与E相对应的N仅与E有关,而与x在D上的 取值无关,因而把这个对所有x都适用的N写作 N(a). 显然,若函数列{n}在D上一致收敛则必在D上 每一点都收敛反之,在D上每一点都收敛的函数列, 它在D上不一定一致收敛 SInr 例2中的函数列 是一致收敛的,因为对任意 前页)后页)返回
前页 后页 返回 N( ). 显然, 若函数列 f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 sinnx n 是一致收敛的, 因为对任意