0.3矩阵和向量范数 11 解IA1=max0-1+5,3+7)=10 1Al=max0-1+3,5+7}=12 a=()()() ATA的特征值为 d=77.7771,2=6.2229 I4l2=V77.777i=8.8191 4lF=(1+9+25+49)1/2=V84=9.1652 3.谱半径与收敛矩阵 若入是矩阵A的特征值，X为其特征向量，AX=入X,对任一相容的矩阵 范数 AIIX=AX|=IAXI≤IAIX |A≤川A (0.7) 即矩阵特征值的模不大于矩阵的任一范数. 定义0.10 p(A)=max《A,这里，2…，An为A的特征值，p(A)称为 A的谱半径 由矩阵谱半径定义，可得到矩阵范数的另一重要性质，P(A)≤‖A.由矩阵谱 半径定义，记A2=((ATA)/2. 定义0.11设{4)，k=1,2,…}为Rn×m上的矩阵序列，若存在A∈Rm×m, 使得 lim IlA(k)-All =0 则称序列{A,k=1,2,…}是收敛的，并称A为该序列的极限 由矩阵范数的等价性，矩阵序列{A),k=1,2,…}的收敛性与矩阵范数的定 义无关 定义0.12当1imA=0时，称A为收敛矩阵. 定理0.2mA=0的充分必要条件是p(A)<1 证明每个复方阵都可以相似到Jordan标准形，故只需考虑A=In+N是 Jordan块的情形.A=A*I+C以A-1N+…+Cg-1-n+1Nm-l,其中 C4=-1)k-i+业
·12 绪论 是关于k的次多项式.当<1时，mA=O.当川≥1时，mA=0不 成立.证毕 推论mA水=0的一个充分条件是存在范数儿，使得4<1 证明4k≤A-1川A≤‖Ak-2AP≤…≤1A.则 A1<1→A→0→1AI→0 由范数的性质得 m4=0 0.3.3矩阵的条件数 在解方程组时，我们总是假定系数矩阵A和常数项b是准确的，而在实际问题 中，系数矩阵A和常数项b往往是由前面的近似计算所得，元素的误差是不可避免 的.这些误差会对方程组Ax=b的解x有多大的影响？矩阵的条件数给出一种粗 略的衡量尺度. 定义0.13若A非奇异，称Condp(A)=‖4，A-1‖。为A的条件数.其中 。表示矩阵的某种范数. Comd(A)≥1，当A为正交矩阵时Cond(A)=1. 注Cond(A)=IA-IIA≥川A-1Al=II川=1. 用矩阵A及其逆矩阵A】的范数的乘积表示矩阵的条件数，由于矩阵范数的 定义不同，因而其条件数也不同，但是由于矩阵范数的等价性，故在不同范数下的 条件数也是等价的 对于线性方程组Az=b.若常数项b有小扰动，设A(z+6z)=b+动，6z 受到砧的影响表示为 图<cad (0.8) 分析A.6x=6b,6z=A-166,6x≤lA1l6b, 在=&网≤Ia1≥周 所以 图<4rA受-ca受 若系数矩阵有小扰动6A,这时方程组的解也有扰动江，于是 (A+6A)(x+6x)=b
0.3矩阵和向量范数 .13 6x受到6A的影响表示为 ≤ 1-cad0离 (0.9) 定理0.3设A∈R×m,b∈R”,A=b,A非奇异，6A和6b是A和b的 扰动， 1A-1I6A<1 则 会<(+) (0.10 矩阵条件数的大小是衡量矩阵“好"或“坏”的标志.因此，称Cond(A)大的 矩阵为“坏矩阵”或“病态矩阵”，对于Comd(A)大的矩阵，小的误差可能会引起 解的失真.一般说来，若A的按模最大特征值与按模最小特征值之比值较大时，矩 阵就会呈病态， 例0.7 方程组 1.0002x1+0.9998x2=2 0.9998m1+1.0002x2=2 的准确解为 x=(e1,x2)T=(1,1)T 对常数项b引入小扰动b=(0.001,-0.001)T,则 1.00020.9998 2.001 1+6x1 3.5 0.9998 1.0002 1.999 2+6x2 -15 1250.25 A-1= -1249.75 -1249.751250.25 故Cond(4A)=2·2500=5000, 6ml=25, 6三=0.001，解的相对误差是右 端项相对误差的2500倍. 从几何上看，这两个方程是平面上的两条直线，求方程组的解是求两条直线的 交点，条件数大表明这两条直线接近平行，求解中对误差必然敏感
,14 绪论 对常数项b引入小扰动b=(0.0001,-0.0001)T,则 /1.00020.9998 /2.0001 (1+）=（1.25 0.99981.0002/x2/ x2+6x2 0.75 对常数项b引入小扰动动=(0.00001，-0.00001)T,则 1.00020.9998 ()() 1+6m1 1.025 0.99981.0002 0.975 注本节矩阵范数内容可以放在第4章中讲授
第1章插值 什么是插值？简单地说，用给定的未知函数(x)的若干点的函数值构造近似 函数p(x),称函数p(x)为f(c)的插值函数. 在实际问题中f()作为未知函数，通过测量或经验只能得到函数fx)的一些 离散点的值{(z,f(z),i=0,1,·,n}:或者函数f(x)的表达式过于复杂而不便 于运算.这时我们需要构造f(x)的近似函数(x).例如，在服装店订做风衣时，选 择好风衣的样式后，服装师量出并记下你的胸围、衣长和袖长等几个尺寸，这几个 尺寸就是风衣函数的插值点数值，在衣料上画出的裁剪线就是服装师构造的插值函 数(x),裁剪水平的差别就在于量准插值点和构造合乎身材的插值函数. 在数学上常用的函数逼近的方法有插值和拟合.本章讨论用插值方法构造近似 函数.第2章讨论用拟合逼近函数。 定义1.1f(z)为定义在区间[a,b上的函数，{xo,x1,·,xn}为[a.b上n+1 个互不相同的点，重为给定的某一函数类.若中上有函数(x),满足 (x)=f(x),i=0,1,…,n 则称p)为f回)关于节点{o,1,…,xn}在币上的插值函数.称点{0,1，… xm}为插值节点：称{(x,f(c),i=0,1,·,n}为插值型值点，简称型值点或插值 点，f(x)称为被插函数.在本章中我们约定a=o<x1<·<xn=b. 这样，对函数f(x)在区间[a,上的各种计算，就用对插值函数p(a)的计算 取而代之 构造插值函数需要关心下列问题： ◇插值函数是否存在？ ◇插值承数是否唯一？ ◇如何表示插值函数？ ◇如何估计被值函数∫(e)与插值函数()的误差？ 1.1拉格朗日(Lagrange)插值多项式 可对插值函数的类型作多种不同函数的选择，由于代数多项式具有简单和一些 良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数 多项式作为插值函数