上饶师范学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第四章 矩阵

第四章矩阵 第一节矩阵概念的一些背景 在线性方程线组的讨论中我们看到，线性方程组的 些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过和也表现为变换这些矩阵的过 程，除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并 且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全 不同的、表面上完全没有、联系的问题上，归结成矩阵问题以后却是相同 学中 极其面 矩阵成为 厂使是线性代数的一个主要研究对象。这一章的目的是引入矩阵的运算，并时论贸 的应用广泛的概念 因而也就传 代数特 们的一些基本性质。 为了使读者对矩阵的概念以及下面要讨论的问题的背景有些了解，我们来介 绍一些提出矩阵概念。当然，由于篇幅和目前知识的限制，介绍的方面有很大局 限性 1.在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的转柚（反时针方向转 轴)， 那么平面直角坐标变换的公式为 ∫x=xcos0-y'sma. (1) y=x'sin 0+ 其中日为x轴的夹角，显然，新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式所排成的 2×2矩阵 (2) 表示出来，通常， 矩阵(2)称为坐标变换(1)矩阵，在空间的情形，保持原点 仿射坐标的变换有公式 X=a,.x+a,y+a.,2 y=ax'+ay'+an (3) =aux'+any+a= 同样，矩阵 an an2 a (4) 就称为坐标变换(3)的矩阵。 2.二次曲线的一股方程为 ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0 今 (⑤)左端可以用 ‖x|y1才 d e

第四章 矩阵 第一节 矩阵概念的一些背景 在线性方程线组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过和也表现为变换这些矩阵的过 程，除线性方程 组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并 且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全 不同的、表面上完全没有、联系的问题上，归结成矩阵问题以后却是相同的，这 使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特 别是线性代数的一个主要研究对象。这一章的目的是引入矩阵的运算，并讨论它 们的一些基本性质。 为了使读者对矩阵的概念以及下面要讨论的问题的背景有些了解，我们来介 绍一些提出矩阵概念。当然，由于篇幅和目前知识的限制，介绍的方面有很大局 限性。 1．在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的转柚（反时针方向转 轴）， 那么平面直角坐标变换的公式为    = + = − `sin `cos , `cos `sin ,     y x y x x y （1） 其中  为 x 轴的夹角，显然，新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式所排成的 2  2 矩阵         −     sin cos cos sin （2） 表示出来，通常，矩阵（2）称为坐标变换（1）矩阵，在空间的情形，保持原点 仿射坐标的变换有公式      = + + = + + = + + ` ` ` ` ` ` ` ` ` 31 32 33 21 22 23 11 12 13 z a x a y a z y a x a y a z x a x a y a z （3） 同样，矩阵           31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a （4） 就称为坐标变换（3）的矩阵。 2．二次曲线的一般方程为 2 2 2 0 2 2 ax + bxy + cy + dx + ey + f = (5) (5) 左端可以用 表 x y 1 x a b d y b c e 1 d e f

来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应的x,y或1的乘积的系数，而 (5)的左端就是按这样约定所形成的项的和，换名话说，只要规定了x,y,1的次 序，二次方程(5)的左端就可以简单地用矩阵 (a b d b ce (6) der 来表示，通常，(6)称为二元曲线(5)的矩阵，以后我们会看到，这种表示不 只是形式的，事实上矩阵(6)行列式就是解析几何中二元曲线的不变量1，这 表明了矩阵(6)的性质确实反映了它所表示的元曲线的性质。 3.讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵。例如，假如在某一地区，某一 种物资，比如说煤，有s产地A,A,,A和n个销地B,B2,…,B。,那么一个 调运方案就可以用一个矩阵 a1a2…an】 (a1a2…am 来表示，其中a,表示由产地A,运到销地B,的数量。 4.n维向量也可以看成矩阵的特殊情形，n维行列向量就是1×n矩阵，n维向 量就是nx1矩阵。 以后我们用拉丁字母A,B,…,或者 (a)6)…来代表矩阵 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以反s×n矩阵写成An,Bm,…,或者 (a3(b (注意矩阵的符号与行列式的符号的区别)。 设A=(4),B=b,),…,如果m=1,n=k，且a=b,对 1=1,2,…,rj=1,2,…n都成立，我们就说A=B.即只有完全一样的矩阵才叫做相 等

来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应的 x, y 或 1 的乘积的系数，而 （5）的左端就是按这样约定所形成的项的和，换名话说，只要规定了 x, y,1 的次 序，二次方程（5）的左端就可以简单地用矩阵           d e f b c e a b d （6） 来表示，通常，（6）称为二元曲线（5）的矩阵，以后我们会看到，这种表示不 只是形式的，事实上矩阵（6）行列式就是解析几何中二元曲线的不变量 3 I ，这 表明了矩阵（6）的性质确实反映了它所表示的元曲线的性质。 3．讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵。例如，假如在某一地区，某一 种物资，比如说煤，有 s 产地 A A As , , , 1 2  和 n 个销地 B B Bn , , , 1 2  ，那么一个 调运方案就可以用一个矩阵               s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 来表示，其中 ij a 表示由产地 Ai 运到销地 Bi 的数量。 4．n 维向量也可以看成矩阵的特殊情形， n 维行列向量就是 1n 矩阵， n 维向 量就是 n1 矩阵。 以后我们用拉丁字母 A,B,  , 或者 (aij),(bij),  来代表矩阵。 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以反 sn 矩阵写成 Asn ,Bsn ,  ，或者 (aij),(bij), （注意矩阵的符号与行列式的符号的区别）。 设 A = (Aij) mn ,B = (bij) lk ,  ，如果 m =1,n = k ， 且 , aij = bij 对 i = 1,2,  ,m; j = 1,2, n 都成立，我们就说 A= B. 即只有完全一样的矩阵才叫做相 等

第二节矩阵的运算 现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些基本的关系，下 面要定义的运算是矩阵的加法、乘法，矩阵与参数的和、乘法以及矩阵的转置 为了确定起见，我们取定一数域P,以下所讨论的矩阵全是由数组成的 1.加法 定义1设 aa2…a A-l) ala2…am b,b…bn B=6,)= bba…bn 是两个s×n矩阵，则矩阵 C=(C)=(a+by) a+, a2+b21a2+b2…am+b2 a1+b1a2+b2…an+bm 称为A和B的和，记为 C=A+B 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，当然，相加的矩阵必须要有相当的行 数和列数，由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以， 不难验证，它有： 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C 交换律：A+B=B+A 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O,在不致引起含混的时候，可简单地记 为0，显然，对所有的A, A+0=A 矩阵 -al1-al2…-aln -a21-a22…-a2n 人-asl-as2.-asm 称为矩阵A的负矩阵，记为-A,显然有：A+(一A)=0 矩阵的减法定义为 A-B=A+(-B)

第二节 矩阵的运算 现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些基本的关系，下 面要定义的运算是矩阵的加法、乘法，矩阵与参数的和、乘法以及矩阵的转置。 为了确定起见，我们取定一数域 P ，以下所讨论的矩阵全是由数组成的。 1．加法 定义 1 设 A ＝( ) sn aij ＝               s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 ， B ＝( ) sn bij ＝               s s sn n n b b b b b b b b b       1 2 21 22 2 11 12 1 是两个 sn 矩阵，则矩阵 C ＝( ) ( ) sn ij ij sn i j c = a + b ＝               + + + + + + + + + s s s s sn sn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b       1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 称为 A 和 B 的和，记为 C = A+ B 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，当然，相加的矩阵必须要有相当的行 数和列数，由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以， 不难验证，它有: 结合律： A + (B + C) = (A + B) + C 交换律： A + B = B + A 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 Osn ，在不致引起含混的时候，可简单地记 为 0 ，显然，对所有的 A ， A+0 = A 矩阵               − − − − − − − − − as as asn a a a n a a a n       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 的负矩阵，记为− A ，显然有: A+ (−A) = 0. 矩阵的减法定义为 A− B = A+ (−B)

例在1我们看到，某一种物资如果有s个产地，n个销地，那么一个调运 方案就可以表示为一个s×n矩阵，矩阵中的元素a,表示由产地4，要运到销地B 的这种物资的数量，比如说吨数，如果从这些产地还有另一种物资要运到这些销 地，那么，这种物资的调运方案可表示为一个s×矩阵，于是从产地到销地的总 的输量为一个矩阵，显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和。 根据矩阵加法的定义应用关于向量的秩的性质，很容易看出： 秩(A+B)s秩(A)+秩(B) 2.乘法 在给出乘法定义之前，我们先看一个引出矩阵行乘法的问题。 设x,x,xx,和乃2，是两组变量，它们之间的关系为 x1=a1+a1z2+a1y x3=a24+a22y3+a2y3 (1 x4=a4月+a42》2+a4y3 又如：，，是第三组变量，它们与片，y2y关系为 y=b5+65 y2=b2151+b22 y3=b311+b22 由(1)，(2)不难得出x,x2,x3x与1,52，的关系： =2=22》 =2aA,=2A -宫 (1=12,34) (3) 如果我们用 x-2cy,(1=1234j=12) (4) 来表示x,x2,x,x与乙，乙2的关系，比较(3)，(4)，就有 6,=2a6,6=l2341=12) (5)

例 在 1 我们看到，某一种物资如果有 s 个产地， n 个销地，那么一个调运 方案就可以表示为一个 sn 矩阵，矩阵中的元素 ij a 表示由产地 Ai 要运到销地 Bj 的这种物资的数量，比如说吨数，如果从这些产地还有另一种物资要运到这些销 地，那么，这种物资的调运方案可表示为一个 sn 矩阵，于是从产地到销地的总 的输量为一个矩阵，显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和。 根据矩阵加法的定义应用关于向量的秩的性质，很容易看出： 秩 (A+ B)  秩 (A) ＋秩 (B) 2．乘法 在给出乘法定义之前，我们先看一个引出矩阵行乘法的问题。 设 1 2 3, 4 x , x , x x 和 1, 2 3 y y , y 是两组变量，它们之间的关系为        = + + = + + = + + = + + 4 41 1 42 2 43 3 3 31 1 32 2 33 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y （1） 又如 1 2 z ,z 是第三组变量，它们与 1 2, 3 y , y y 关系为      = + = + = + 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 y b z b z y b z b z y b z b z （2） 由（1），（2）不难得出 1 2 3 4 x , x , x .x 与 , , 1 2 z z 的关系： i x ＝= 3 k 1 i k k a y ＝  = =         3 1 2 k j 1 ik kj j a b z ＝= = 3 1 2 k j 1 ik kj j a b z ＝= = 2 ` 3 j k 1 ik kj j a b z ＝ = =       2 1 3 j 1 j k ik kj a b z （ i = 1,2,3,4 ） （3） 如果我们用 = = 2 j 1 i ij j x c z （ i = 1,2,3,4; j = 1,2 ） （4） 来表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 Z ,Z 的关系，比较（3），（4），就有 = = 3 K 1 ij aikbkj c (i =1,2,3,4; j =1,2). （5）

用矩阵的表示法，我们可以说，如轩矩阵 A=(ak43,B=(b)32 分别表示变量xx2,xx4与2,3以及，乃2y,与，52的关系，那么表示 x,x,x3,x4与乙，Z2之间的关系的矩阵 C=(c) 就是由公式(5)决定，矩阵C称为A和B的乘积，记为C=A×B 一般地，我们有： 定义2设 A=a4)n,B=6), 那么矩阵 c-c)’ 其中6=a,+a,+tab,-2a. (6) 称为A与B的乘积，记为C=AB 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵A与B的乘积C的第i行第了列的元素等 于第一个矩阵A第1行与第二个矩阵B第j列的对应元素的和。当然，在乘积的 定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。 例1设 那么 10-1221 (034 C=AB=-1130 =67 102-6 (-21710 乘积中的矩阵中各个元素是根据公式(6)得出的，例如，第二行第一列的 元素10是矩阵A的第二行元素与矩阵B第一列对应元素乘积之和： (一1)×0+1×1十3×3十0×(-1)=10 其余可类似得到。 例2如果

用矩阵的表示法，我们可以说，如轩矩阵 43 32 ( ) , ( ) A = aik B = bkj 分别表示变量 1, 2 3 4 x x , x .x 与 1, 2 3 y y , y 以及 , , , 1 2 3 y y y 与 1 2 z ,z 的关系，那么表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 Z ,Z 之间的关系的矩阵 ( ) 42 ij C = c 就是由公式（5）决定，矩阵 C 称为 A 和 B 的乘积，记为 C = AB 一般地，我们有： 定义 2 设 ( ) ( ) ik sn kj nm A = a ,B = b ， 那么矩阵 ( ) ij sm C = c ， 其中 = = + + + = n k ij ai b j ai b j ai nbnj ai k bkj c 1 1 1 2 2  （6） 称为 A 与 B 的乘积，记为 C = AB 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A 与 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的元素等 于第一个矩阵 A 第 i 行与第二个矩阵 B 第 j 列的对应元素的和。当然，在乘积的 定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。 例 1 设           − − − = 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 A ，               − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 B 那么               − −           − − − = = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 C AB ＝           − − − 2 17 10 10 2 6 5 6 7 乘积中的矩阵中各个元素是根据公式（6）得出的，例如，第二行第一列的 元素 10 是矩阵 A 的第二行元素与矩阵 B 第一列对应元素乘积之和： （－1）  0+1  1＋3  3＋0  （-1）＝10 其余可类似得到。 例 2 如果