.16 第1章插值 1.1.1线性插值 1.线性插值问题 问题1.1给定两个插值点(0，f(0),(c1,f(x1),其中x0≠x1,怎样做通过 这两点的线性插值函数？ 过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线 性插值，如图1.1所示. (五h E 图1.1线性插值函数L(x) 在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线.下面 先用待定系数法构造插值直线 设直线方程为L1()=a+bc,将(o,fo),(1,f(x1》分别代入直线方程 L()得 a+bro=f(ro) a+br=f(r1) 设而≠面时，因}≠0，所以方程组有解而且解是唯一的.这也表明， 11 任给平面上两个不同点，有且仅有一条直线通过，这是大家所熟知的.用待定系数 法构造插值多项式的方法简单直观，一目了然地看到解的存在性和唯一性，需要解 一个方程组才能得到插值函数的系数，因有解方程组的工作量而不便向高阶推广 故常用待定系数法证明插值函数的存在性和唯一性，而不用在构造插值函数中， 设0卡x1时，若用两点式表示这条直线，则有 (1.1) x0一x1 E1一T0 称这种形式为拉格朗日(Lagrange))插值多项式. 记6国=。二会4回=二会称,4e为插值基通数计第e
1.】拉格朗日(Lagrange))插值多项式 17. (e)的值，易见 =-{ (1.2) 在e指值项武中可将回看两条线会侧小云会) 的叠加，可以看到两个插值点的地位和作用都是平等的. 0-1 拉格朗日插值多项式形式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式形式 推广 2.线性插值误差 定理1.1记L1(c)为以{(xo,(xo),(a1,f(x1)》为插值点的插值函数，xo: x1∈a,,o≠x1,设f()一阶连续可导，f"(e)在(a,b)上存在，则对任意给定的 xe[a,,至少存在一点ea,,使 国=fo-h间=f9e-we-lea到 (1.3) 证明令R(x)=f(x)-L(e.因R(xo)=R(x1）=0,xo,x1是R(x)的根， 可设 R(x)=k()(x-xo)(-z1) 对任何一个固定的点x,引进辅助函数()， ()=ft)-L1()-k(x)(t-xo)(t-1) 则(x)=0,i=0,1. 由定义可得(x)=0,这样()至少有3个零点，不失一般性，假定x0<x< 1,分别在o,和，x】上应用Role定理，可知()在每个区间至少存在一 个零点，不妨记为51和2，即(1)=0和(52)=0，对p()在1,2上应用 Roe定理，得到"()在[51,52上至少有一个零点5，p"()=0. 对（①求二次导数，其中L”()=0,有 ")="()-2k(x 代入6得"阳-2张国)=所以=型 R()(-to)(-),o. 对于不同的x,的值一般也不相同，即=（工）. 定理1.1给出了线性插值的截断误差，插值函数的截断误差也称余项
18 第1章插值 1.1.2二次插值 1.二次插值问题 问题1.2给定三个插值点{，f》i=0,1,2:其中云互不相等，怎样构 造函数∫（红）的二次（抛物线）插值多项式？ 平面上的三个点能确定一条二次曲线，如图1.2所示 （() f (a) (》 图1.2二次（抛物线）插值函数L2(x) 用插值基函数的方法构造二次插值多项式L2(a) 设L2(x)=lo(红)f（xo)+(e)f(x1)+2(z)f(x2).每个基函数l(z)是一个二次 函数，对6(e)来说，要求，2是它的零点，因此可设 l6(x)=A(x-x1)(x-x2) 同理l1(x),l2(x)也有相应的形式，得 L2()=A(-1)(r-r2)f(xo)+B(x-zo)(x-z2)f(1) +C(x-x0)(x-x1)f(x2) 将x=0代入L2(),得 L2(xo)=A(o-1)(ro-72)f(ro)=f(ro) 所以 1 A=0-10-项 6国=4e-e-小-品-， 同理将x=x1,x=2代入2()得到B和C的值，以及1(e)和l2(x)的表
11拉格朗日(Lagrange)插值多项式 19 达式 1 B=1-0e1-项 C=m-0- 的 (-0)x-2) 4)=西-01- (-o)(x-1】 ad国=m-o-到 得到 4网-品。马+岳为a (a-ro)()f(ma) +2-02- (1.4 容易验证插值基函数仍然满足 4g)=g={0,if ∫1，i=j 2.二次插值函数误差 国=9r-ole-e- (1.5) 3 ∈min{ro,t1,x2,xh,max{x0:x,工2，x月 上式证明完全类似于线性插值误差的证明，故从略 插值作为函数通近方法，常用于函数的近似计算.当计算点落在插值点区间之 内叫做内插，否则叫做外插。内插的效果一般优于外插。 例1.1如图1.3所示，给定sin11°=0.190809，sim12°=0.207912，sin13° 0.224951.构造二次插值函数并计算sin1130. 零 (x-12)(x-13) (x-11)(x-13) h-=12-1019009+&-2-020912 +品=品02 L2(11.5)=0.199369,准确值sin1130=0.199368. 更一般地用弧度作为自变量构造插值函数，易估计误差。 (11°，12°，13)=(0.191986,0.20944,0.226893)
.20 第1章插值 2.0 1.0 3.06从国 2.0 2. 1. 1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 ( 其中：T到=+（国+ 图1.3二次插值基函数 例1.2要制作三角函数sinx的函数值表，已知表值有四位小数，要求用线性 插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试确定其最大允许步长， 解设h=h=一工-1， e-学9e-ae-小-e-ae- ≤--训≤（作-）(- 2 -1-e,-al-号<0 最大允许步长h≤0.02. 11.3n次拉格朗日插值多项式 1.n次插值多项式问题 问题1.3给定平面上两个互不相同的插值点{(x,f(x)》,i=0,1,有而且 仅有一条通过这两点的直线：给定平面上三个互不相同的插值点{(x,f(x),i 0,1,2头，有而且仅有一条通过这三个点的二次曲线：给定平面上n+1个插值点 {(x,f(),i=0,1,2,…,n,互不相同，是否有而且仅有一条不高于n次的插 值多项式？如果曲线存在，如何做出这条n次插值多项式曲线？ 分析n次多项式Pn(e)=ao+ax十…+anx”,它完全由n+1个系数 {ao,a1,·,an}决定.若曲线P(x)通过给定平面上n+1个互不相同的插值点