数学与计算机系高等代数教研室 二零零二年五月 高等代数电子教案 第一章多项式 第一节数域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习 代数以及其他数学分支时也会碰到。关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为代数性 质。 定义1设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1。如果P中任意两个数（这两个 数也可以相同)的和、差、积商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域。 如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍然在P中，我们就说数集P对这个运 算封闭的
数学与计算机系高等代数教研室 二零零二年五月 高等代数电子教案 第一章 多项式 第一节 数域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习 代数以及其他数学分支时也会碰到。关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为代数性 质。 定义 1 设 p 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1。如果 p 中任意两个数（这两个 数也可以相同）的和、差、积商（除数不为零）仍然是 p 中的数，那么 p 就称为一个数域。 如果数的集合 P 中任意两个数作某一运算的结果都仍然在 P 中，我们就说数集 P 对这个运 算封闭的
通常我们用Q表示有理数组成的集合，R表示全体实数组成的集合，C表示全体复数组成 的集合。 例1所有具有形式 a+b2 的数（其中a,b是任意有理数），构成一个数域。通常用g(瓦)来表示这个数域，显然数集QW) 包含0与1并且它对于加减法是封闭的。又 a+bW2e+d2)=(ac+2bd)+(ad+bch2,a,b,cd都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也 是有理数，即运算对乘法封闭。同理可得运算对除法封闭。 例2所有可以表成形式 +aπ+…+a,r b+bπ+…bnπm 的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数，a,b,(=01,,匹j=0l,,m是整数 例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加法、减法不是封闭的。√2的整 倍数的全体成一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于乘除法不封闭。 数域的一个重要性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。 第二节一元多项式 定义2设n是一非负整数，形式表达式 anx"+an-1x+…+a。 (1) 其中a,a,…a,全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P中的 一元多项式。 在多项式(1)中，a,x称为1次项，a,称为1次项的系数。以后用fxgx,…或∫，g,…等 来表示多项式。 定义3如果在多项式x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那 么f(x)与g)就称为相等，记为 f(x)=g(x) 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。 在(1)中，如果a。≠0，那么ax称为多项式(1)首项，an称为首项系数，n称为多项 式(1)的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式。 多项式fx)的次数记为fx). 设fy)=anx”+a-x++ao,g)=bx+b-x叫+…+b。 是数域P上的两个多项式。那么可以写成 fx)=∑a,x,gx)=∑b,x/ 在表示fx)与g气)的和时，如n2m,为了方便起见，在gc)中令bn=bn-1=…=b1=0
通常我们用 Q 表示有理数组成的集合， R 表示全体实数组成的集合， C 表示全体复数组成 的集合。 例 1 所有具有形式 a + b 2 的数（其中 a,b 是任意有理数），构成一个数域。通常用 Q( 2) 来表示这个数域，显然数集 Q( 2) 包含 0 与 1 并且它对于加减法是封闭的。又 (a + b 2)(c + d 2) = (ac + 2bd )+ (ad + bc) 2,a,b,c,d 都是有理数，所以 ac + 2bd,ad + bc 也 是有理数，即运算对乘法封闭。同理可得运算对除法封闭。 例 2 所有可以表成形式 m m n n b b b a a a + + + + + 0 1 0 1 的数组成一数域，其中 n,m 为任意非负整数， a b (i n j m) i j , = 0,1, , ; = 0,1, , 是整数 例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加法、减法不是封闭的。 2 的整 倍数的全体成一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于乘除法不封闭。 数域的一个重要性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。 第二节 一元多项式 定义 2 设 n 是一非负整数，形式表达式 0 1 a x a 1 x a n n n n + + + − − （1） 其中 a a an , , 0 1 全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简称为数域 P 中的 一元多项式。 在多项式（1）中， i i a x 称为 i 次项， i a 称为 i 次项的系数。以后用 f (x), g(x), 或 f , g, 等 来表示多项式。 定义 3 如果在多项式 f (x) 与 g(x) 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那 么 f (x) 与 g(x) 就称为相等，记为 f (x) = g(x) 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0。 在（1）中，如果 0, an 那么 n n a x 称为多项式（1）首项， n a 称为首项系数， n 称为多项 式（1）的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式。 多项式 f (x) 的次数记为 (f (x))。 设 ( ) , 0 1 f x a x a 1 x a n n n = n + + + − − ( ) 0 1 g x b x b 1 x b m m m = m + + + − − 是数域 P 上的两个多项式。那么可以写成 ( ) ( ) = = = = m j j j n i i i f x a x g x b x 0 0 , 在表示 f (x)与 g(x)的和时，如 n m, 为了方便起见，在 g(x)中令 0, bn = bn−1 == bm+1 =
那么f)与gx)的和为 )+g6)=a+b,k+a+bk-++a+6k+a+6)=∑a,+bk 而fx)与g(x)的积为 f(x)g(x)=a bxm+(a,b+ab xm++(abo+aob +aobo 其中s项的系数是 a,h+ab+tab+ab,=∑ab, 所以fx)gx)可写成 fs)=∑ab,k 显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域P上的两 个多项式。 对于多项式的加减法，有af(x)士gx)smx(6(f(x儿g(x》 对于多项式的乘法，可以证明，如果fx)≠0，gx)≠0，那么fxgx)≠0，并且 U(x)g(x)=f(x》+(g(x),即多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。 和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律： 1、加法交换律：fx)+gx)=gx)+fx) 2、加法结合律：(fx)+gx)+hx)=fx)+(gx)+x) 3、乘法交换律：fg()=gxf) 4、乘法结合律：（fxg(x)(x)=fxgx)x) 5、乘法对加法的分配律：fxg(x)+hx)=fxg(x)+fx)x) 6、乘法消去律：如果fxg(x)=fx)hx)且fx)≠0，那么gx)=x)。 定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为 PxP称为P的系数。 第三节 整除的概念 这一节以后各节的讨论都是在某一固定的数域P上的多项式环Px中进行的，以后不再 重复说明了。 带余除法对于P]中任意两个多项式f(x)与gx),其中gx)≠O,一定有P]中的多项 式q(x))存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，其中x)<(g(x》或者(x)=0,并且这样的q(x(x)是唯一确定的。 证明：(1)中qx)和(x)的存在性可以由上面所说的除法直接得出，用数学归纳法叙述。 如果fx)=0,取g)=)=0即可
那么 f (x) 与 g(x) 的和为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + = + + − + − + + + + + = + n i i i i n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b a b x 0 1 1 0 0 1 1 1 而 f (x) 与 g(x) 的积为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 1 f x g x a b x a b 1 a 1b x a b a b x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − + 其中 s 项的系数是 + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs aibj 所以 f (x) g(x) 可写成 ( ) ( ) s n m s i j s i j f x g x a b x + = + = = 0 显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的两 个多项式。 对于多项式的加减法，有 (f (x) g(x)) max((f (x)),(g(x))) 对于多项式的乘法，可以证明，如果 f (x) 0, g(x) 0, 那么 f (x)g(x) 0, 并且 (f (x)g(x)) = (f (x))+ (g(x)) ，即多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。 和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律： 1、加法交换律： f (x)+ g(x) = g(x)+ f (x) 2、加法结合律： (f (x)+ g(x))+ h(x) = f (x)+ (g(x)+ h(x)) 3、乘法交换律： f (x)g(x) = g(x)f (x) 4、乘法结合律： (f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) 5、乘法对加法的分配律： f (x)(g(x)+ h(x)) = f (x)g(x)+ f (x)h(x) 6、乘法消去律：如果 f (x)g(x) = f (x)h(x) 且 f (x) 0, 那么 g(x) = h(x)。 定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，称为数域 P 上的一元多项式环，记为 Px,P 称为 Px 的系数。 第三节 整除的概念 这一节以后各节的讨论都是在某一固定的数域 P 上的多项式环 Px 中进行的，以后不再 重复说明了。 带余除法 对于 Px 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) 0, 一定有 Px 中的多项 式 q(x),r(x) 存在，使 f (x) = q(x)g(x)+ r(x) （1） 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0, 并且这样的 q(x),r(x) 是唯一确定的。 证明：（1）中 q(x) 和 r(x) 的存在性可以由上面所说的除法直接得出，用数学归纳法叙述。 如果 f (x) = 0, 取 q(x) = r(x) = 0 即可
以下设fx)≠0。令fx)g(x)的次数分别为n,m,对fx)的次数n作数学归纳法。 当n<m时，显然取gx)=0r)=fx以(1)式成立。 下面讨论n≥m的情形。假设当次数小于n时，g(x,x)的存在已证。现在看次数为n的情 形。 令ax",bx"分别是fx)g(x)的首项，显然ba-mg(x)与fx)有相同的首相，因而多项式 f(x)=f(x)-b-ax"-"g(x) 的次数小于n或为0。对于后者，取qx)=b~a",(x)=0:对于前者，由归纳法假设， 对fx)gx)有g(x5(x)存在使 (x)=4(x)g(x)+(x) 其中ar(x》<(g(x)》或者r(x)-0。于是 f(x)=(q:(x)+b-ax-")g(x)+n(x) 也就是说，有gx)=q,(x)+bar-",r(x)=r(x)使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立。由归纳法原理，对任意的f)g(x)≠0，q(x,)的存在性就证明了。 下面证明唯一性。设另有多项式g(x),r(x)使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 其中r'(x》<(g(x》或者r'(x)=0。于是 g(x)g(x)+r(x)=q(x)g(x)+r(x) 即 (q(x)-q'(x)g(x)=r'(x)-r(x) 如果q(x)≠q(x),又根据假设g(x)≠0，那么r'(x)-(x)≠0，且有 (q(x)-q(x》+(g(x)=r'(x)-(x) 但是 a(g(x》>r'(x)-r(x) 所以上式不可能成立。这就证明了g(x)=g(x),因此(x)=r'(x)。 带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为g(x)除f(x)的余式 定义5数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式(x)使等式 f(x)=g(x)h(x) 成立。我们用g(xf()表示g(x)整除f(x),里g(x/(x)表丞g(x)不整隆fx) 当g(xf(x)时，g(x)称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式。 当g(x)≠0时，带余除法给出了整除性的一个判别法。 定理1对于数域P上的任意两个多项式g(x),f(x),其中g(x)≠0，g(xf(x)的充分必 要条件是gx)除fx)的余式为零。 证明如果r(x)=0,那么f(x)=gx)h(x),即gx/x)。 反过来，如果g(xf(x),那么 f(x)=g(x)h(x)=g(x)h(x)+0
以下设 f (x) 0 。令 f (x), g(x) 的次数分别为 n,m ，对 f (x) 的次数 n 作数学归纳法。 当 n m 时，显然取 q(x) = 0;r(x) = f (x), （1）式成立。 下面讨论 n m 的情形。假设当次数小于 n 时， q(x),r(x) 的存在已证。现在看次数为 n 的情 形。 令 n n ax ,bx 分别是 f (x), g(x) 的首项，显然 b ax g(x) −1 n−m 与 f (x) 有相同的首相，因而多项式 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x f x b ax g x − n−m = − 的次数小于 n 或为 0。对于后者，取 ( ) , ( ) 0 1 = = − − q x b ax r x n m ；对于前者，由归纳法假设， 对 ( ), ( ) 1 f x g x 有 ( ), ( ) 1 1 q x r x 存在使 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x = q x g x + r x 其中 ( ( )) ( ( )) 1 r x g x 或者 r(x) = 0 。于是 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 1 1 1 f x q x b ax g x r x n m = + + − − 也就是说，有 ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 1 1 q x q x b ax r x r x n m = + = − − 使 f (x) = q(x)g(x)+ r(x) 成立。由归纳法原理，对任意的 f (x), g(x) 0,q(x),r(x) 的存在性就证明了。 下面证明唯一性。设另有多项式 q (x),r (x) 使 f (x) = q (x)g(x)+ r (x) 其中 (r (x)) (g(x)) 或者 r (x) = 0 。于是 q(x)g(x)+ r(x) = q (x)g(x)+ r (x) 即 (q(x) − q (x))g(x) = r (x) − r(x) 如果 q(x) q (x) ，又根据假设 g(x) 0, 那么 r (x) − r(x) 0, 且有 (q(x) − q (x)) + (g(x)) = (r (x) − r(x)) 但是 (g(x)) (r (x) − r(x)) 所以上式不可能成立。这就证明了 q(x) = q (x), 因此 r(x) = r (x) 。 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商，r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的余式。 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立。我们用 g(x) f (x) 表示 g(x) 整除 f (x) ，用 g(x) f (x) 表示 g(x) 不整除 f (x) 当 g(x) f (x) 时， g(x) 称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式。 当 g(x) 0 时，带余除法给出了整除性的一个判别法。 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 g(x) ， f (x) ，其中 g(x) 0, g(x) f (x) 的充分必 要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零。 证明 如果 r(x) = 0 ，那么 f (x) = g(x)h(x) ，即 g(x) f (x) 。 反过来，如果 g(x) f (x) ，那么 f (x) = g(x)h(x) = g(x)h(x) + 0
即r(x)=0。 带余除法中g(x)必须不为零。但gxf(x)中，g(x)可以为零，这时 fx)=g(x)hx)=0.h(x)=0 当g(xf(x)时，如g(x)≠0，g(x)除f(x)所得的商q(x)有时也用 f(x) gx 来表示 下面介绍整除性的几个常用的性质： 1.如果gxf(x),fxg(x,那么fx)=cg(x),其中c为非零常数。 事实上，由fxg(x,有g(x)=h(x)fx,由g(xf()有fx)=gx)h(x)。于是 f(x)=h(x)h (x)f(x) 如果fx)为零，那么g(x)也为零，结论显然成立。如果f(x)≠0，那么消去f(x)就有 h,(x)h2(x)=1 从而ah(x)+ah,(x)=0。由此即得 ah,(x)=ah,(x)=0 也就是说h,(x)是一非零常数。 2.如果f(xg(x),gxx),那么x)x)(整除的传递性)。显然，由 g(x)=g(x)f(x).h(x)=h(x)g(x) 即得x)=(h,(xg(x)fx)。 3.如果fxg,(x),i=1,2,…,,那么 f(x4(x)g1(x)+42(x)g2(x)+…+4,(x)g,(x)2 其中w,(x)是数域P上任意的多项式。 通常4，(x)g1(x)+山2(x)g2(x)+…+4,(x)g,(x)称为多项式g1(x,g2(x,…,g,(x)的一个组合。 由以上性质可以看出，多项式f(x)与它的任一个非零常数倍gf(x)c≠0)有相同的因式， 也有相同倍式。因之，在多项式整除性的时论中，f(x)常常可以用f(x)来代替。 最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变。也就是说，如果
即 r(x) = 0。 带余除法中 g(x) 必须不为零。但 g(x) f (x) 中， g(x) 可以为零，这时 f (x) = g(x) h(x) = 0 h(x) = 0 当 g(x) f (x) 时，如 g(x) 0 ， g(x) 除 f (x) 所得的商 q(x) 有时也用 ( ) ( ) g x f x 来表示。 下面介绍整除性的几个常用的性质： 1．如果 g(x) f (x)， f (x) g(x), 那么 f (x) = cg(x), 其中 c 为非零常数。 事实上，由 f (x) g(x), 有 ( ) ( ) ( ), 1 g x = h x f x 由 g(x) f (x) 有 ( ) ( ) ( ) 2 f x = g x h x 。于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x = h x h x f x 如果 f (x) 为零，那么 g(x) 也为零，结论显然成立。如果 f (x) 0, 那么消去 f (x) 就有 h1 (x)h2 (x) =1 从而 (h1 (x))+ (h2 (x)) = 0 。由此即得 (h1 (x)) = (h2 (x)) = 0 也就是说 ( ) 2 h x 是一非零常数。 2．如果 f (x) g(x), g(x) h(x) ，那么 f (x) h(x) （整除的传递性）。显然，由 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 1 1 g x = g x f x h x = h x g x 即得 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 1 1 h x = h x g x f x 。 3．如果 f (x) g (x),i 1,2, ,r, i = 那么 ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )), 1 1 2 2 f x u x g x u x g x u x g x + ++ r r 其中 u (x) i 是数域 P 上任意的多项式。 通常 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 u x g x u x g x u x g x + ++ r r 称为多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 g x g x g x r 的一个组合。 由以上性质可以看出，多项式 f (x) 与它的任一个非零常数倍 cf (x)(c 0) 有相同的因式， 也有相同倍式。因之，在多项式整除性的讨论中， f (x) 常常可以用 cf (x) 来代替。 最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变。也就是说，如果