第二章行列式 第一节引言 解方程是代数中一个基本的问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要的地位。因此这 个问是读者所熟悉的。在中学代数中，我们解过一 元、三元以至四元一次方程组 。这 一章主要地就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。这一章是引进行列式来解线性方 程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。 在中学代数课中学过，对于二元线性方程组 a+ax=b a2x1+a22x3=b2 当二级行列式 anan ≠0 aa az 时，该方程组有唯一解，即 x= b az a21b, ,2= a1a42 anan aa 对于三元线性方程组有相仿的结论。在这一章我们要把这个结果推广到n元线性方程组 「ax1+a2x2++anxm=b a21+a222+…+a2mxn=b2 anx+anx2++amxa=b 的情形。为此，我们首先要给出级行列式的定义并讨论它的性质，这就是本章的主要内容。 第二节排列 作为定义n级行列式的准备，我们先来讨论一下排列的性质。 定义1由1,2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。 例如，2431是一个四级排列，45321是一个5级排列。我们知道n级排列的总数是 n-(n-1)-(n-2…2-1 我们记 12(n-l)n=m 读为n级乘。例如：4！=4321=24,5：=120m随着n的增大迅速增大。例如10！=3628800
第二章 行 列 式 第一节 引 言 解方程是代数中一个基本的问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要的地位。因此这 个问题是读者所熟悉的。在中学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。这 一章主要地就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。这一章是引进行列式来解线性方 程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。 在中学代数课中学过，对于二元线性方程组 + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当二级行列式 0 21 22 11 12 a a a a 时，该方程组有唯一解，即 , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 a a a a b a b a x = , 21 22 11 12 21 2 11 1 2 a a a a a b a b x = 对于三元线性方程组有相仿的结论。在这一章我们要把这个结果推广到 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 的情形。为此，我们首先要给出 n 级行列式的定义并讨论它的性质，这就是本章的主要内容。 第二节 排 列 作为定义 n 级行列式的准备，我们先来讨论一下排列的性质。 定义 1 由 1,2, ,n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列。 例如，2431 是一个四级排列，45321 是一个 5 级排列。我们知道 n 级排列的总数是 n (n −1)(n − 2)2 1 我们记 1 2(n −1) n = n!. 读为 n 级乘。例如： 4！= 4321= 24，5！=120.n! 随着 n 的增大迅速增大。例如 10！=3628800
显然12”也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排列起来的：其 它的排列都或多或少地破坏自然顺序。 定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 例如2431中，21,43,41,31是逆序数，2431的逆序数就是4，而45321的逆序数是9。 排列2jn的逆序数记为x(j…jn)。 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例如，2431是偶排列：45321是奇排列：12n的逆序数为零，因之是偶排列。 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般地也称为级排 列，同样可以定 义上面区些概念 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换 称为一个对换。例如，经过1,2对换，排列2431就变成了1432，排列2134就变成了1234。 显然，如果连续施行两次的对换，那么就还原了。由此得知，一个对换把全部级排列两两配 对，使每个配成对的n级排列在这个对换下互变。 关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实。 定理1对换改变排列的奇偶性。 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 证明先看一个特殊的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形，排列 …k (1) 经过j,k对换变成 …kj… (2) 显然，在排列(1)中如，k与其他的数构成逆序，则在排列(2)中仍然构成逆序：如果不构 成逆序则在(2)中也不构成逆序：不同的知识，k的次序。如果原来，k组成逆序，那么经过 对换，逆序数就减少一个；如果原来，k不组成逆序，那么经过对换，逆序数就增加一个，不 论增加1还是减少排列的逆序数的奇偶性总是变了。因之，在这个特殊的情形定理成立。 再看一般的情形，设排列为 …j2,k… (3) 经过，k对换，排列(3)变成 …k1131,1… (4) 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现。从(3)出发，把k与，对 换，再与对换，由此依次下去，把k一位一位地向左移动，经过s+1次相邻位置的对换，排 列(3)就变成 …ki62…。… (5)
显然 12n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排列起来的；其 它的排列都或多或少地破坏自然顺序。 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 例如 2431 中，21，43，41，31 是逆序数，2431 的逆序数就是 4，而 45321 的逆序数是 9。 排列 n j j j 1 2 的逆序数记为 ( ) 1 2 n j j j 。 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例如，2431 是偶排列；45321 是奇排列； 12n 的逆序数为零，因之是偶排列。 应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列，一般地也称为 n 级排 列，同样可以定义上面这些概念。 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换 称为一个对换。例如，经过 1，2 对换，排列 2431 就变成了 1432，排列 2134 就变成了 1234。 显然，如果连续施行两次的对换，那么就还原了。由此得知，一个对换把全部 n 级排列两两配 对，使每个配成对的 n 级排列在这个对换下互变。 关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实。 定理 1 对换改变排列的奇偶性。 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 证明 先看一个特殊的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形，排列 jk （1） 经过 j, k 对换变成 kj （2） 显然，在排列（1）中如 j, k 与其他的数构成逆序，则在排列（2）中仍然构成逆序；如果不构 成逆序则在（2）中也不构成逆序；不同的知识 j, k 的次序。如果原来 j, k 组成逆序，那么经过 对换，逆序数就减少一个；如果原来 j, k 不组成逆序，那么经过对换，逆序数就增加一个，不 论增加 1 还是减少 1，排列的逆序数的奇偶性总是变了。因之，在这个特殊的情形定理成立。 再看一般的情形，设排列为 ji1 i 2 i s k （3） 经过 j, k 对换，排列（3）变成 ki1 i 2 i s j （4） 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现。从（3）出发，把 s k与i 对 换，再与 s−1 i 对换,由此依次下去，把 k 一位一位地向左移动，经过 s +1 次相邻位置的对换，排 列（3）就变成 kji1 i 2 i s （5）
从(5)出发，再把)一位一位地向右移动，经过s次相邻位置的对换，排列(5)就变成排列 (4)。因之，J,k对换可以通过2s+1次相邻位置的对换来实现。2s+1是奇数，相邻位置的对 换改变排列的奇偶性。显然，奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性： 定理2任意一个n级排列与排列12”都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个 数与这个排列有相同的奇偶性。 证明对排列的级数作数学归纳法，来证任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成 12.n 1级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对n-1级排列已经成立，现在来证对n级排列的情形结论也成立。 设j2…jn是一个n级排列，如果jn=n,那么根据归纳法假设，n-1级排列j2jn 可以经过一系列对换变成12n-1,于是这一系列对换也就把…jn变成了12n。如果 jn≠n,那么对j2…n作jn,n对换，它就变成n,这就归结成上面的情形，因此结 论普遍成立。 第三节n级行列式 现在给出级行列式的定义，从这一节开始，我们总是取一固定的数域P作为基础，所谈 到的数都是指这个数域P中的数，所考虑的行列式也都是数域P上的行列式，以后不再特别说 明了 在给出级行列式的定义之前，先看以下二级和三级行列式的定义。我们有 dnhadddda (1) a an as a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-413a22a31-a12a21a33-a11a23a32（2） 从二级和三级行列式的定义可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是 由行列式中位于不同行和不同列的元素构成的额，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积 组成。在n=2时，由不同行不同列的元素构成的额乘积只有a,az和a2a2,这两项，在n=3时 也不难看出只有(2)中的6项。这是二级和三级行列式的特征的一个方面。另一方面。每一 项乘积都带有符号。这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一 般形式可以写成 anaznain (3) 其中2j是1,2,3的一个排列，可以看出，当j2j3是偶排列时，对应的项在(2)中带有正号
从（5）出发，再把 j 一位一位地向右移动，经过 s 次相邻位置的对换，排列（5）就变成排列 （4）。因之， j, k 对换可以通过 2s +1 次相邻位置的对换来实现。 2s +1 是奇数，相邻位置的对 换改变排列的奇偶性。显然，奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性。 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个 数与这个排列有相同的奇偶性。 证明 对排列的级数 n 作数学归纳法，来证任意一个 n 级排列都可以经过一系列对换变成 12n。 1 级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对 n −1 级排列已经成立，现在来证对 n 级排列的情形结论也成立。 设 n j j j 1 2 是一个 n 级排列，如果 j n = n ，那么根据归纳法假设， n −1 级排列 1 2 n−1 j j j 可以经过一系列对换变成 12n −1 ，于是这一系列对换也就把 n j j j 1 2 变成了 12n 。如果 j n n ，那么对 n j j j 1 2 作 j n , n 对换，它就变成 j 1 j 2 j n −1n ，这就归结成上面的情形，因此结 论普遍成立。 第三节 n 级 行 列 式 现在给出 n 级行列式的定义，从这一节开始，我们总是取一固定的数域 P 作为基础，所谈 到的数都是指这个数域 P 中的数，所考虑的行列式也都是数域 P 上的行列式，以后不再特别说 明了。 在给出 n 级行列式的定义之前，先看以下二级和三级行列式的定义。我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − （1） 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − （2） 从二级和三级行列式的定义可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是 由行列式中位于不同行和不同列的元素构成的额，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积 组成。在 n = 2 时，由不同行不同列的元素构成的额乘积只有 a11a22和a12a21 这两项，在 n = 3 时 也不难看出只有（2）中的 6 项。这是二级和三级行列式的特征的一个方面。另一方面。每一 项乘积都带有符号。这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式（2）中，项的一 般形式可以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j （3） 其中 j 1 j 2 j 3是1，2，3 的一个排列，可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时，对应的项在（2）中带有正号
当j2,是奇排列时带有负号。二级行列式显然也符合这个原则。 定义4n级行列式 ala2…an aa2…a2 (4) aan2…anm 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 aa2h…a. (5) 的代数和，这里12…jn是1,2，…，n的一个排列，每一项(5)都按下列规则带有符号：当j2…j。 是偶排列时，(5)带有正号，当2…jn是奇排列时，(5)带有负号。这一定义可写成 a1a12…an aia…an ∑(-l）-waah…ak (6) ana2…ann 这里∑表示对所有n级排列求和。 定父表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素枸成的乘积。把 构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项 的符号。 由定义立即看出，n级行列式是由m项组成的。 例1计算行列式 10001 0020 0300 4000 这是一个四级行列式， 在展开式中应该有4！=24项，但是由于出现很多零，所以不等于零的 项数就大大减少了。我们具体地来看一下，展开式中项的一般形式是 a12a3a4 显然，如果方≠4，那么a=0,从而这个项就等于零。因此只须考虑j方=4的那些项：同理， 只须考虑2=3,5=2，j4=1这些列指标的项。这就是说，行列式中不为零的项只有a1442;42a4 这一项，而(432I)=6,这一项前面的符号应该是正的，所以
当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号。二级行列式显然也符合这个原则。 定义 4 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 （4） 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 （5） 的代数和，这里 n j j j 1 2 是 1,2, ,n 的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当 n j j j 1 2 是偶排列时，（5）带有正号，当 n j j j 1 2 是奇排列时，（5）带有负号。这一定义可写成 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 n n n j j nj j j j j j j a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) = (−1) （6） 这里 n j j j 1 2 表示对所有 n 级排列求和。 定义表明，为了计算 n 级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。把 构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项 的符号。 由定义立即看出， n 级行列式是由 n! 项组成的。 例 1 计算行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4！=24 项，但是由于出现很多零，所以不等于零的 项数就大大减少了。我们具体地来看一下，展开式中项的一般形式是 1 1 2 2 3 3 4 4 a j a j a j a j 显然，如果 j 1 4 ，那么 0 1 1 a j = ，从而这个项就等于零。因此只须考虑 j 1 = 4 的那些项；同理， 只须考虑 j 2 = 3, j 3 = 2, j 4 =1 这些列指标的项。这就是说，行列式中不为零的项只有 a14a23a32a41 这一项，而 (4321) = 6, 这一项前面的符号应该是正的，所以
000 0020 =24 0300 4000 例2计算上三角行列式 0a2…am (7) 00…an 先看一下形如(5)式的项有哪一些不为零，然后再来决定它们的符号。项的一般形式为 aah…a. 在行列式中第n行的元素除去am外全为零，因之，只要考虑j。=n的那些项。在第n-l行中， 除去a-1,an-n外，其余的项全为零，因之jm-1只有n-1,n这两个可能。由于jn=n,所以jm- 就不能等于n了，从而j=n-1。这样逐步推上去，不难看出，在展开式中，除去 a1022…04g 这一项外，其余的项全是0。而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号， 于是 a1a2…an (8) 00…aam 换句话说，这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积，作为 (8)的特殊情形有 ld,0…0 0d…0=dd…d (9) 00…d 110…0 01…0 1 (10) 00…1 主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角行列式。(9)说明了对角行列式的值等于主对角 线上元素的 积 容易看出，当行列式的元素全是数域P中的数时它的值也是数域P中的一个数。 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把个元素按行指标排起来。事实上，数 的乘法是交换的，因而这个元素的次序可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成
4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 =24 例 2 计算上三角行列式 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 （7） 先看一下形如（5）式的项有哪一些不为零，然后再来决定它们的符号。项的一般形式为 njn a j a j a 1 1 2 2 在行列式中第 n 行的元素除去 ann 外全为零，因之，只要考虑 j n = n 的那些项。在第 n −1 行中， 除去 an 1,n 1 an 1,n , − − − 外，其余的项全为零，因之 n − 1 j 只有 n −1, n 这两个可能。由于 j n = n ，所以 n−1 j 就不能等于 n 了，从而 j n−1 = n −1 。这样逐步推上去，不难看出，在展开式中，除去 a11a22 ann 这一项外，其余的项全是 0。而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号， 于是 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 = a11a22 ann （8） 换句话说，这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积，作为 （8）的特殊情形有 n n d d d d d d 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 = （9） 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = （10） 主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角行列式。（9）说明了对角行列式的值等于主对角 线上元素的乘积。 容易看出，当行列式的元素全是数域 P 中的数时它的值也是数域 P 中的一个数。 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把 n 个元素按行指标排起来。事实上，数 的乘法是交换的，因而这 n 个元素的次序可以任意写的，一般地， n 级行列式中的项可以写成